[論文レビュー] How to Play Unique Games against a Semi-Random Adversary

Alexandra Kolla, Konstantin Makarychev+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、完全に満たせるインスタンスが構築された後、敵対的攻撃者が一部の制約を破壊する半ランダムモデルを導入する。新しい非標準的SDP緩和とハイブリッドSDP-LPラウンディング手法を提案し、平均次数が十分に高く、εが絶対定数未満の場合、(1−δ)の制約を多項式時間で満たすアルゴリズムを実現する。これは、標準SDP手法が失敗する半ランダムインスタンスにおいても、標準手法を上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

In this paper, we study the average case complexity of the Unique Games problem. We propose a natural semi-random model, in which a unique game instance is generated in several steps. First an adversary selects a completely satisfiable instance of Unique Games, then she chooses an epsilon-fraction of all edges, and finally replaces ("corrupts") the constraints corresponding to these edges with new constraints. If all steps are adversarial, the adversary can obtain any (1-epsilon) satisfiable instance, so then the problem is as hard as in the worst case. In our semi-random model, one of the steps is random, and all other steps are adversarial. We show that known algorithms for unique games (in particular, all algorithms that use the standard SDP relaxation) fail to solve semi-random instances of Unique Games. We present an algorithm that with high probability finds a solution satisfying a (1-delta) fraction of all constraints in semi-random instances (we require that the average degree of the graph is Omega(log k). To this end, we consider a new non-standard SDP program for Unique Games, which is not a relaxation for the problem, and show how to analyze it. We present a new rounding scheme that simultaneously uses SDP and LP solutions, which we believe is of independent interest. Our result holds only for epsilon less than some absolute constant. We prove that if epsilon > 1/2, then the problem is hard in one of the models, the result assumes the 2-to-2 conjecture. Finally, we study semi-random instances of Unique Games that are at most (1-epsilon) satisfiable. We present an algorithm that with high probability, distinguishes between the case when the instance is a semi-random instance and the case when the instance is an (arbitrary) (1-delta) satisfiable instance if epsilon > c delta.

研究の動機と目的

• 敵対的要素とランダム要素を組み合わせた半ランダムモデルにおけるUnique Gamesの平均ケース複雑度を調査すること。
• 標準SDPに基づくアプローチが失敗する半ランダムインスタンスを、効率的に解けるアルゴリズムを開発すること。
• ほぼ満たせる半ランダムインスタンスと、やや満たせる任意のインスタンスを区別すること。
• 特に2対2予想の下で、半ランダムモデルにおける近似の限界を分析すること。

提案手法

• 完全に満たせるUnique Gamesインスタンスが構築された後、敵対的攻撃者がε分の1のエッジをランダムな制約に変更する半ランダムモデルを導入する。
• 元の問題の緩和ではないが、半ランダムモデル下での解析を可能にする非標準的SDP緩和を提案する。
• SDPとLPの両方の解を同時に使用して制約満たし率を向上させるハイブリッドラウンディング手法を開発する。
• 定理4.4の修正版を適用し、解における「短い」エッジの数を制限し、緩和されたSDP解における測度集中を示す。
• 確率的解析を用いて、半ランダムインスタンスにおいて、SDP目的値の少なくともε/32が高確率で達成されることを示す。
• 一部の頂点のベクトルを再定義することで、ノルムの境界を保ちつつ、破壊に対する耐性を高める緩和SDP解を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準SDPベースのアルゴリズムは、定数分の1の制約が敵対的に破壊された半ランダムインスタンスのUnique Gamesを解けるか？
• RQ2 平均次数が十分に高い場合、半ランダムUnique Gamesにおいて多項式時間で(1−δ)の制約を満たすアルゴリズムは存在するか？
• RQ3 ε分の1の制約が破壊された半ランダムインスタンスは、(1−δ)-満たせる任意のインスタンスと、δ ≪ εのとき効率的に区別できるか？
• RQ4 2対2予想を仮定した場合、半ランダムUnique Gamesが近似可能でなくなるεの閾値は何か？

主な発見

• 標準SDPベースのアルゴリズムは、インスタンスがε分の1に過ぎない破壊を受けても、εが絶対定数未満であっても、半ランダムUnique Gamesインスタンスを解くことができない。
• 提案されたアルゴリズムは、半ランダムインスタンスにおいて、(1−O(ε+η/log k))の制約を満たす。ここでηはSDP解に関連するパラメータであり、平均次数はΩ̃(log k)である。
• 破壊された制約に対しても、アルゴリズムは高い制約満たし率を達成し、全制約のうち(1−O(ε+η/log k))を満たす。
• ε < 1/2のとき、半ランダムモデルにおいて問題は依然として解けるが、ε ≥ 1/2になると、2対2予想の下で問題は困難となり、(1−ε)-満たせる半ランダムインスタンスとδ-満たせるインスタンスを区別する多項式時間アルゴリズムは存在しない。
• ε|E|個のエッジがランダムに破壊された半ランダムインスタンスのSDP値は、高確率でε/32以上である。これにより、δ < cεを満たす絶対定数cに対して、(1−δ)-満たせるインスタンスと効果的に区別可能である。