[論文レビュー] How to reconcile Information theory and Gibbs-Herz entropy for inverted populated systems

Alessio Gagliardi, Alessandro Pecchia|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2015

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、エネルギー準位が反転した分布を示す系において、情報理論とギブズ＝ヘルツのエントロピーを統合する。具体的には、正しい確率分布（エネルギー ≤ E であるすべての状態に対するギブズ＝ヘルツの均一分布）と組み合わせた場合、シャノンのエントロピー関数が依然として有効であることを示している。主な結果として、平衡状態では熱力学的温度が常に正であり、負の温度を持つ熱源を含むカルノーサイクルにおける100%を超える効率は、外部駆動力による未考慮のエネルギーフラックスに起因するものであることが判明した。

ABSTRACT

In this paper we discuss about the validity of the Shannon entropy functional in connection with the correct Gibbs-Hertz probability distribution function. We show that there is no contradiction in using the Shannon-Gibbs functional and restate the validity of information theory applied to equilibrium statistical mechanics. We show that under these assumptions, entropy is always a monotone function of energy, irrespective to the shape of the density of states, leading always to positive temperatures even in the case of inverted population systems. In the second part we assume the validity of the Shannon entropy and thermodynamic temperature, T=dE/dS, extended to systems under non-equilibrium steady state. Contrary to equilibrium, we discuss the possibility and meaning of a negative temperature in this case. Finally we discuss on Carnot cycles operating with a non-equilibrium bath possessing a negative temperature and leading to apparent efficiencies larger than one, due to a wrong accounting af all the energy and entropy fluxes present in the system, including the external driving forces.

研究の動機と目的

• 密度状態が有界な系において負の温度が存在し得るかどうかの論争を解決すること。
• 微正準集合における正しいエントロピー関数を明確にし、ボルツマンエントロピーの代わりに、累積密度演算子から導かれるギブズ＝ヘルツエントロピーを用いるべきであると主張すること。
• 正しい確率分布と組み合わせた場合、シャノンエントロピー関数が情報理論的測度を新たに必要とせずに、熱力学的系に対しても有効であることを示すこと。
• 非平衡定常状態（NESS）における負の温度の物理的意味を調査し、カルノーサイクル効率に与える影響を明らかにすること。
• 負の温度を持つ熱源を含むサイクルにおいて、1を超えると思われる効率は、エネルギーおよびエントロピーの勘定が不完全であるための結果であり、物理的違反ではないことを示すこと。

提案手法

• ハミルトニアン系として定式化された微正準集合を用い、外部からの影響を完全に隔離することで、正しい平衡状態を定義する。
• 2種類の確率密度関数を比較する：ボルツマンエントロピーに用いられる微正準密度演算子（MDO）と、ギブズ＝ヘルツエントロピーに用いられる累積密度演算子（CDO）。
• 両者の分布にシャノンエントロピー関数 $ S = -k_B ext{Tr}[ ho ho] $ を適用し、それぞれ $ S_B = ext{ln}| ho_B| $ および $ S_{GH} = ext{ln}| ho_{GH}| $ を導出する。
• 微分 $ T = dE/dS $ を分析し、ギブズ＝ヘルツエントロピーのみが、反転分布を示す系を含め、すべての系で単調かつ正の温度をもたらすことを示す。
• 外部駆動力によって反転分布を維持される状態にまで分析を拡張し、非平衡定常状態（NESS）を扱う。
• 負の温度を持つ熱源を含むカルノーサイクルの性能を評価し、効率が1を超えるのは、熱源を非平衡状態に維持するために必要な仕事の入力を無視しているための誤りであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正しい確率分布が用いられた場合、シャノンエントロピー関数は、平衡統計力学に一貫して適用可能か？
• RQ2 なぜボルツマンエントロピーは、密度状態が異常な系において物理的に不適切な負の温度を生じさせるのか？また、ギブズ＝ヘルツエントロピーはどのようにしてこの問題を解決するのか？
• RQ3 非平衡定常状態における負の温度は物理的に意味を持つものか、それとも熱力学的定義の結果に起因する誤謬か？
• RQ4 通常の熱源と非平衡状態にある反転状態の熱源を用いたカルノーエンジンが、1を超える効率を達成できるか？
• RQ5 負の温度を持つ熱源を含むサイクルにおいて、外部駆動力はエネルギーおよびエントロピーの勘定にどのように寄与するか？

主な発見

• 累積密度演算子から導かれるギブズ＝ヘルツエントロピーは、微正準平衡状態にある孤立系の正しい熱力学的エントロピーであり、常に正の温度を保証する。
• ボルツマンエントロピーは、エネルギーが $ E = ar{E} $ に固定された条件付き平均にのみ有効であり、異常な密度状態を示す系では一般のエントロピー関数として不適切である。
• 正しい確率分布と組み合わせた場合、シャノンエントロピーは熱力学的系に対しても有効であり、新たな情報測度の導入は不要である。
• 非平衡定常状態では、$ T = dE/dS $ を用いて負の温度を定義できるが、これは系のエネルギー含量や等分配則の挙動を反映していない。
• 負の温度を持つ熱源を含むサイクルにおける、1を超えると思われるカルノーサイクル効率は、非平衡状態を維持するために必要な仕事の入力を無視しているため、誤りである。
• 外部駆動源からの全エネルギーおよびエントロピーのフラックスを正しく勘定した場合、このようなサイクルの総効率は1未満となる。これは、永久機関やダークエネルギーの存在を排除する。