[論文レビュー] How to (Un-) Quantum Mechanics

C. Baumgarten|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2018

Quantum Mechanics and Applications参考文献 39被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、空間的・時間的メタ物理学を放棄し、時間並進不変性のみを保持することで、量子力学を量子原理を仮定せずに古典的ハミルトニアン力学から導出可能であると主張する。スピン接続構造とクリフォード代数を用いた純粋な古典的位相空間形式によって、ディラック方程式および相対論的量子力学が自然に導かれ、古典的・量子的力学の数学的差異は実際には幻想的であることを示している。

ABSTRACT

When compared to quantum mechanics, classical mechanics is often depicted in a specific metaphysical flavour: spatio-temporal realism or a Newtonian "background" is presented as an intrinsic fundamental classical presumption. However, the Hamiltonian formulation of classical analytical mechanics is based on abstract generalized coordinates and momenta: It is a mathematical rather than a philosophical framework. If the metaphysical assumptions ascribed to classical mechanics are dropped, then there exists a presentation in which little of the purported difference between quantum and classical mechanics remains. This presentation allows to derive the mathematics of relativistic quantum mechanics on the basis of a purely classical Hamiltonian phase space picture. It is shown that a spatio-temporal description is not a condition for but a consequence of objectivity. It requires no postulates. This is achieved by evading spatial notions and assuming nothing but time translation invariance.

研究の動機と目的

• 量子力学が数学的構造において古典力学とは本質的に異なるという標準的見解に挑戦すること。
• 相対論的量子力学の数学的構造、特にディラック方程式が、追加の公理を仮定せずに古典的ハミルトニアン力学から導出可能であることを示すこと。
• 空間的・時間的現実主義は基礎的要件ではなく、時間並進不変性とシンプレクティック力学の結果であることを示すこと。
• 量子力学の「不思議さ」は、数学的構造の本質的差異ではなく、誤った提示に起因することを主張すること。

提案手法

• 空間的・時間的メタ物理学を抽象化し、一般化された座標と運動量を用いたハミルトニアン位相空間における古典的力学を定式化する。
• 空間や物体に関する仮定を避けるために、物理的公理として時間並進不変性のみを採用する。
• シンプレクティック力学とラクス対を用いてスピン場とその時間発展を記述し、ディラック型方程式と整合することを示す。
• 基本スピン場（サイズ4）のクロネッカー積を用いて高次スピン場とそれに対応するハミルトニアンを構成する。
• スピン場のテイラー展開を用いて高次ハミルトニアンを表現し、特定の行列構造を持つ実クリフォード代数（Cl(N−1,1)）を用いる。
• シンプレクティック運動としてのスピン場の古典的位相空間形式から、ディラック方程式および相対論的量子力学を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対論的量子力学の数学的構造は、量子原理を仮定せずに古典的ハミルトニアン力学から導出可能か？
• RQ2 古典的力学と量子力学の違いは、本質的に数学的であるのか、それとも解釈的メタ物理学の結果であるのか？
• RQ3 空間的・時間的現実の記述は時間並進不変性から生じるのか、それとも基礎的仮定なのか？
• RQ4 シンプレクティック力学とクリフォード代数を用いた純粋な古典的位相空間形式から、ディラック方程式を導出可能か？
• RQ5 クロネッカー積によるスピン場の合成は、古典的系から高次量子的類似力学を生成する上で果たす役割は何か？

主な発見

• ディラック方程式および相対論的量子力学は、時間並進不変性とシンプレクティック力学のみを用いた古典的ハミルトニアン位相空間形式から導出可能である。
• 奇数個の基本的ディラックスピン場（サイズ4）から構成されるスピン場はシンプレクティック運動を示すが、偶数個の合成は線形化ハミルトニアンが消える定数運動量を示す。
• 高次ハミルトニアンはスピン場のテイラー展開として表現され、γ₀Γ行列の対称性によって制約を受けるため、非ゼロ項の数は次数2kに対して最大で[n(2n+1)]^kに制限される。
• k次モーメントのハミルトニアン行列のサイズは、k=2m+1のとき2^{8m+4}であり、これは実クリフォード代数Cl(N−1,1)（N=8m+4）に対応する。
• 偶数個のクロネッカー積（k=2m）から構成される実ディラックスピン場はサイズ2^{4m}であるが、N=8mに対して対応する実クリフォード代数は存在しないため、高次相関における構造的不整合が生じる。
• 本論文は、量子力学の「量子的性質」が数学的性質ではなく、解釈的性質であると結論づけ、メタ物理学的仮定を除去したとき、量子力学が古典力学から自然に出現することを示している。