[論文レビュー] How to Wick rotate generic curved spacetime

Matt Visser|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2017

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 14被引用数 32

ひとこと要約

この論文は、曲がった時空におけるWick回転を、座標変換 $ t \to -it $ としてではなく、時空計量自体の複素変形として再定義する。これにより、単純なアプローチに起因する不一致が解消される。標準的な $ t \to -it $ の処方では一般に実数のEuclidean計量が得られず、特に非定常時空ではそうであることが示され、計量に基づくWick回転は因果律と位相を保ち、Euclidean量子重力の物理的に整合性のある定式化を可能にする。

ABSTRACT

It is an article of folklore that the collection of ideas identified as Euclidean quantum gravity may be derived from ordinary Lorentzian signature gravity by the procedure of Wick rotation. This note will attempt to shed some light on this relatively ill-understood procedure. I argue that it proves inappropriate and unhelpful to regard Wick rotation in terms of a complex deformation of the time coordinate. Rather, Wick rotation can more usefully be viewed as a complex deformation of the spacetime metric. This simple reformulation of the Wick rotation procedure, while it leaves flat space physics unaffected, has profound implications for quantum gravity.

研究の動機と目的

• 曲がった時空に単純な $ t \to -it $ 処方を適用することによる根本的な不整合を解消すること。これは一般に複素数または非Euclidean計量を生じる。
• Wick回転を座標変換ではなく、時空計量の複素変形として見なすべきであることを主張し、多様体の微分可能構造を保つこと。
• Osterwalder-Schraderの正値性と整合する実数で正定値のEuclidean計量が得られるようにすることで、Euclidean量子重力の物理的整合性を回復すること。
• de Sitter空間のような非定常時空では、解析接続の結果が座標の選び方に依存するため、単純な座標ベースのアプローチが失敗する理由を明らかにすること。
• Lorentzian計量に由来する計量に制限されたEuclidean配置空間を用いることで、量子重力における物理的に意味のある経路積分の基礎を築くこと。

提案手法

• 座標を固定したまま、時空計量テンソル $ g_{\mu\nu} \to g_{\mu\nu}^{\text{E}} $ の複素解析接続としてWick回転を再定式化する。
• de Sitter空間を異なるスライシング座標（k=0, k=+1, k=-1）で適用し、解析接続によって明示的にEuclidean計量が得られるのはk=+1スライシングに限ることを示す。
• 一般に、$ t \to -it $ 処方が複素数やLorentzian符号型計量を生じるため、de Sitter空間のような簡単な例ですら失敗することを示す。
• Osterwalder-Schraderの正値性条件を、経路積分における許容されるEuclidean計量のクラスを制約する物理的基準として用いる。
• Euclidean量子重力における経路積分は、Lorentzian計量からWick回転可能な計量に制限されなければならない。任意に選ばれたLorentzian対応のないEuclidean多様体を含めない。
• 座標依存の変換を避けて、座標に依存しない方法で計量テンソルそのものを直接変形することで、多様体の微分可能構造を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ標準的な $ t \to -it $ 処方が一般の曲がった時空では実数のEuclidean計量を生じないのか？
• RQ2 de Sitter空間のような非定常時空では、解析接続の座標依存性が矛盾を引き起こすため、Wick回転をどのように一貫して定義できるか？
• RQ3 曲がった時空におけるWick回転の正しい幾何的解釈は何か—座標変換か、計量の変形か？
• RQ4 Euclidean量子重力における経路積分は、どのように物理的に意味のある配置に制限できるか？ これらはLorentzian符号型の対応を持つ必要がある。
• RQ5 Osterwalder-Schrader正値性条件は、量子重力における許容されるEuclidean計量のクラスを制約するために果たす役割は何か？

主な発見

• 単純な $ t \to -it $ 処方は、一般に曲がった時空では複素数や非Euclidean計量を生じる。例えば、$ k=0 $ の共動座標系におけるde Sitter空間では、解析接続後に計量が明示的に複素数になる。
• これに対して、$ k=+1 $ スライシングにおけるde Sitter空間では、解析接続後に実数で正定値のEuclidean計量が得られ、半径 $ H^{-1} $ の4次元球面に対応する。これは単純なアプローチの座標依存性を示している。
• $ k=-1 $ スライシングでは、解析接続により符号型 (3,1) の計量が得られ、Euclideanでない。これは、単純な方法ですら簡単な例でもEuclidean符号型計量を生じない可能性があることを示している。
• 本論文は、Wick回転を座標変換ではなく、計量テンソルの複素変形として見なすべきであると確立する。これにより、多様体の微分可能構造が保たれ、座標依存性が回避される。
• 計量の変形としてWick回転を再解釈することで、因果律とOsterwalder-Schrader正値性と整合し、Euclidean量子重力の物理的に整合性のある基礎が得られる。
• Euclidean量子重力における経路積分は、Lorentzian計量からWick回転可能な計量に制限されなければならない。Lorentzian対応のない任意のEuclidean多様体を含めることは、物理的原理とOckhamの剃刀に反する。