[論文レビュー] $hp$-Version discontinuous Galerkin methods on essentially arbitrarily-shaped elements

Andrea Cangiani, Zhaonan Dong+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 50被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、非線形写像を必要とせず、曲がった多角形を含む本質的に任意の形状の要素を持つメッシュ上でも安定性と最適収束を達成する $hp$-バージョンの不連続ガレルキン法を提案する。主な革新は、形状に依存するが変動に敏感でない内部ペナルティ安定化であり、一般の要素幾何における新しい逆不等式によって実現され、$p$-refinementにおける指数的収束を数値実験で確認した。

ABSTRACT

We extend the applicability of the popular interior-penalty discontinuous Galerkin (dG) method discretizing advection-diffusion-reaction problems to meshes comprising extremely general, essentially arbitrarily-shaped element shapes. In particular, our analysis allows for \emph{curved} element shapes, without the use of non-linear elemental maps. The feasibility of the method relies on the definition of a suitable choice of the discontinuity penalization, which turns out to be explicitly dependent on the particular element shape, but essentially independent on small shape variations. This is achieved upon proving extensions of classical trace and Markov-type inverse estimates to arbitrary element shapes. A further new $H^1-L_2$-type inverse estimate on essentially arbitrary element shapes enables the proof of inf-sup stability of the method in a streamline-diffusion-like norm. These inverse estimates may be of independent interest. A priori error bounds for the resulting method are given under very mild structural assumptions restricting the magnitude of the local curvature of element boundaries. Numerical experiments are also presented, indicating the practicality of the proposed approach.

研究の動機と目的

• 任意の形状、特に曲がった多角形要素を含むメッシュ上に、$hp$-バージョン内部ペナルティ不連続ガレルキン（IP-dG）法の適用範囲を拡大すること。
• 非線形パラメトリック写像を用いずに、要素の曲率に関する最小限の仮定の下で、その方法の安定性と収束性を確立すること。
• 任意の要素形状に対して有効な新しいトレースおよびマークフ型逆不等式を構築し、強固な誤差解析を可能にすること。
• 一般形状上での $H^1-L^2$-型逆不等式を証明し、ストリームライン拡散に類似したノルムにおける下限安定性を支援すること。
• 不連続解や振動係数を有する曲がったメッシュ上での数値実験を通じて、その実用性を示すこと。

提案手法

• 局所的要素幾何に明示的に依存する内部ペナルティ安定化を用いて、任意の多角形および曲がった要素上に新たな不連続ガレルキン式を提案する。
• 任意の要素形状に対して一般化されたトレースおよびマークフ型逆不等式を導出することで、離散ノルムの有界性を保証する。
• 本質的に任意の要素に対して新しい $H^1-L^2$ 逆不等式を導入し、ストリームライン拡散に類するノルムにおける下限安定性の証明に不可欠な役割を果たす。
• 連続性の弱い強制を、要素形状に明示的に適合させたが、小さな形状変動に対しては頑健なペナルティ項を用いる。
• 流入・流出部を有する面上の積分を処理するための複合台形則を適用し、非整列メッシュ上での正確な計算を可能にする。
• $p$-refinementを固定された曲がったメッシュ上で用いることで、指数的収束を達成し、スペクトル精度を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形写像を用いずに、任意の形状、特に曲がった多角形要素を含むメッシュ上でも、$hp$-バージョン IP-dG 法を安定かつ収束可能にできるか？
• RQ2 誤差解析と安定性を支援するため、逆不等式を任意の要素幾何に一般化できるか？
• RQ3 安定性を保証しつつ、小さな形状変動に対しても頑健であるように、内部ペナルティの形はどのようなものであるべきか？
• RQ4 任意の要素形状に対して、ストリームライン拡散に類するノルムにおける下限安定性を証明できるか？
• RQ5 メッシュが不連続性や振動係数に適合している場合、$p$-バージョンにおいて指数的収束を達成できるか？

主な発見

• 提案手法は、解の不連続性に適合した曲がったメッシュ上で $p$-refinement を行った場合、$p$-バージョンにおいて指数的収束を達成する。振動する広義速度場が存在しても同様に成立する。
• 数値実験により、$p \geq 6$ の場合、1要素あたりに風の2周期を解像すればスペクトル精度が確認されたが、低 $p$ では一時的に収束が止まる現象が観察された。
• 任意形状上での新しい $H^1-L^2$ 逆不等式は、ストリームライン拡散に類するノルムにおける下限安定性の証明を可能にし、強固性のための重要なステップである。
• ペナルティパラメータは要素形状に明示的に依存するが、小さな形状変動に対しても頑健であるため、実装が可能である。
• メッシュ幾何の複雑さ、特に非整列流入境界や曲がった界面を含む場合でも、メッシュの整列や再パラメータ化を要せず、適切に処理できる。
• 理論的結果は、不連続解と曲がった界面を有する放物型-双曲型問題に対する数値実験により裏付けられ、強固な性能を示した。