[論文レビュー] Hurwitz-Hodge Integrals, the E6 and D4 root systems, and the Crepant Resolution Conjecture

Jim Bryan, Amin Gholampour|ArXiv.org|Aug 30, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、モノドロミー群が A₄ および ℤ₂×ℤ₂ である ℙ¹ への次数4被覆のモジュライ空間上でのHurwitz-Hodge積分の母関数を計算し、E₆およびD₄ルート系の正ルートに関する三角関数の和を用いて表現する。主な結果として、これらの積分と、[ℂ³/A₄]および[ℂ³/(ℤ₂×ℤ₂)]のオルビフォールドの生成関数が直接的に関連づけられ、仮想局在化およびMcKay対応の手法を用いて、これらのケースにおけるCrepant Resolution予想が証明される。

ABSTRACT

Let G be the group A_4 or Z_2xZ_2. We compute the integral of λ_g on the Hurwitz locus H_G\subset M_g of curves admitting a degree 4 cover of P^1 having monodromy group G. We compute the generating functions for these integrals and write them as a trigonometric expression summed over the positive roots of the E_6 and D_4 root systems respectively. As an application, we prove the Crepant Resolution Conjecture for the orbifolds [C^3/A_4] and [C^3/(Z_2xZ_2)].

研究の動機と目的

• モノドロミー群 G = A₄ または ℤ₂×ℤ₂ である次数4被覆のモジュライ空間上でのHurwitz-Hodge積分の母関数を計算すること。
• McKay対応を介して、E₆およびD₄ルート系の幾何学とこれらの積分を関連付けること。
• オルビフォールド [ℂ³/G] の生成関数の非古典的部分と、G-Hurwitz-Hodge積分の母関数との間の正確な一致を確立すること。
• 仮想局在化およびMcKay対応の手法を用いて、オルビフォールド [ℂ³/A₄] および [ℂ³/(ℤ₂×ℤ₂)] におけるCrepant Resolution予想を証明すること。

提案手法

• 古典的McKay対応を用いて、A₄およびℤ₂×ℤ₂の二重被覆をE₆およびD₄ディンキン図に結びつける。
• 共役類のデータ、表現の特徴標、GのSO(3)における3次元表現を用いて、修正されたキャラクターテーブル行列 Lᵣⁱ を定義する。
• 母関数 F_G(x₁,x₂,x₃) を、R⁺の正ルートに関する和として表現し、変数 xᵢ の線形結合の三角関数および表現論的係数を含む。
• BGへのねじれ安定写像のモジュライ空間に仮想局在化を適用し、仮想正規バンドルを −R•π∗f∗V として計算する。
• 普遍的次数4被覆の構造層の押し出しを介したK理論的計算を通じて、仮想正規バンドルとHodgeバンドルを関連付ける。
• 仮想正規バンドルの全チャーン類がHodgeバンドルのチャーン類と一致することを用いて、不変量の等しさを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G = A₄ および ℤ₂×ℤ₂ に対して、G-Hurwitz局所のHurwitz-Hodge積分は、どのようにルート系のデータで表現できるか？
• RQ2 G-Hurwitz-Hodge積分の母関数と、オルビフォールド [ℂ³/G] の生成関数の非古典的部分との間の正確な関係は何か？
• RQ3 E₆およびD₄ルート系は、この文脈においてA₄およびℤ₂×ℤ₂の表現論的構造をどの程度完全に記述するか？
• RQ4 この枠組みを用いて、オルビフォールド [ℂ³/A₄] および [ℂ³/(ℤ₂×ℤ₂)] におけるCrepant Resolution予想を検証可能か？
• RQ5 等置Gromov-Witten理論における仮想局在化技法は、オルビフォールド不変量と曲線のモジュライ空間上のHodge積分をどのように結びつけるか？

主な発見

• G = A₄ の場合、母関数 F_G(x₁,x₂,x₃) は、E₆の正ルートに関する和として、変数 xᵢ の線形結合の三角関数および表現論的係数を含む形で表現される。
• G = ℤ₂×ℤ₂ の場合、母関数 F_G(x₁,x₂,x₃) は、D₄の正ルートに関する和として明示的に計算され、類似の三角関数的構造を持つ。
• オルビフォールド [ℂ³/G] の生成関数の非古典的部分は、G-Hurwitz-Hodge積分の母関数と等しい。
• BGへのねじれ安定写像のモジュライ空間の仮想正規バンドルが、普遍的次数4被覆に沿った押し出し計算を通じて、K理論的にHodgeバンドルの双対と同型であることが示された。
• G-Hurwitz局所の各成分における λ_g の積分が、この対応を用いて計算され、その結果はオルビフォールドのGromov-Witten不変量と一致した。
• 仮想局在化およびルート系のデータを用いて母関数の等しさを確立することで、[ℂ³/A₄]および[ℂ³/(ℤ₂×ℤ₂)]におけるCrepant Resolution予想が証明された。