[論文レビュー] Hurwitz numbers and BKP hierarchy

S. M. Natanzon, A. Yu. Orlov|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2014

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 1被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、実射影平面 ℝP² における分岐被覆のHurwitz数と可積分系のBKP階層との間の関係を確立する。特定の生成関数—超幾何的BKPtau関数—が、所定の分岐プロファイルを持つHurwitz数の重み付き和を記述することを示し、球面に関する先行研究を一般化するとともに、行列積分、シュール関数、位相的場理論をBKPフレームワークを通じて結びつける。

ABSTRACT

We consider special series in ratios of the Schur functions which are defined by integers $ extsc{f}\ge 0$ and $ extsc{e} \le 2$, and also by the set of $3k$ parameters $n_i,q_i,t_i,\,i=1,..., k$. These series may be presented in form of matrix integrals. In case $k=0$ these series generates Hurwitz numbers for the $d$-fold branched covering of connected surfaces with a given Euler characteristic $ extsc{e}$ and arbitrary profiles at $ extsc{f}$ ramification points. If $k>0$ they generate weighted sums of the Hurwitz numbers with additional ramification points which are distributed between color groups indexed by $i=1,...,k$, the weights being written in terms of parameters $n_i,q_i,t_i$. By specifying the parameters we get sums of all Hurwitz numbers with $ extsc{f}$ arbitrary fixed profiles and the additional profiles provided the following condition: both, the sum of profile lengths and the number of ramification points in each color group are given numbers. In case $ extsc{e}= extsc{f}=1,2$ the series may be identified with BKP tau functions of Kac and van de Leur of a special type called hypergeometric tau functions. Sums of Hurwitz numbers for $d$-fold branched coverings of ${\mathbb{RP}}^2$ are related to the one-component BKP hierarchy. We also present links between sums of Hurwitz numbers and one-matrix model of the fat graphs.

研究の動機と目的

• 球面を超えて非可換な曲面、特に ℝP² に対して、Hurwitz数と可積分階層の間の関係を拡張すること。
• BKPtau関数を用いて、ℝP² への d 重分岐被覆のHurwitz数の重み付き和の生成関数を構成すること。
• 特に超幾何的tau関数に対して、行列積分とシュール関数に関する先行結果をBKP設定に一般化すること。
• BKP階層構造を介して、ユニタリ群上の行列積分とHurwitz数の間の対応関係を確立すること。
• 可換曲面（球面）と非可換曲面（ℝP²）の両方におけるHurwitz数の記述を、共通の可積分系フレームワークで統一すること。

提案手法

• 整数 f ≥ 0、e ≤ 2、および 3k 個のパラメータ (n_i, q_i, t_i)（i = 1,…,k）でパrameter化されたシュール関数の比の特別な級数を使用する。
• Itzykson-ZuberおよびCauchy-Littlewoodの公式を活用して、ユニタリ群 U(N) 上の行列積分としてこれらの級数を表現する。
• Kacとvan de Leurの超幾何的BKPtau関数形式を用いて、重み付きHurwitz数を生成する。
• 複数のユニタリ群にわたる積分を用いて生成関数を導出する。その際、恒等式 ∫ s_λ(AUBU†) dU = s_λ(A)s_λ(B)/s_λ(I_N) を利用する。
• K重積の行列積分を構成し、s_λ(A_i) および s_λ(I_N)^{1-K} を含む表現を得る。
• Hurwitz数のフロベニウス公式と対称群の特徴理論を用いて、表現論とtau関数を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝP² への分岐被覆のHurwitz数は、どのようにBKP階層の枠組みに埋め込まれるか？
• RQ2 固定された分岐プロファイルを持つHurwitz数の重み付き和を生成する際、超幾何的BKPtau関数が果たす役割は何か？
• RQ3 ユニタリ群上の行列積分はBKP設定においてHurwitz数とどのように関係し、その生成関数の構造はどのようなものか？
• RQ4 パラメータ (n_i, q_i, t_i) は、重み付き和における色グループごとの追加分岐点の分布をどのように制御するか？
• RQ5 BKPtau関数形式は、可換曲面と非可換曲面の両方におけるHurwitz数の記述を統一的に記述できるか？

主な発見

• ℝP² への d 重分岐被覆のHurwitz数の生成関数は、Kacとvan de Leurの超幾何的BKPtau関数として特定される。
• e = f = 1 または 2 の場合、シュール関数とパラメータ n_i, q_i, t_i から構成される級数はBKPtau関数に対応し、k=0 の場合を一般化する。
• BKPtau関数の行列積分表現により、固定された総プロファイル長および各色グループごとの分岐点数を持つHurwitz数の重み付き和を計算する生成関数が得られる。
• 本研究は、二成分KP階層に関する先行結果を一般化し、行列モデルとHurwitz理論の間の関係を非可換曲面へと拡張する。
• 一成分BKP階層の生成関数は、ℝP² への被覆のHurwitz数の和に正確に対応する。
• 本稿は、ファットグラフの1行列モデルとHurwitz数の和との間の直接的な関係をBKP階層を介して確立し、位相的帰納と確率的行列理論に対する新しい可積分系的視点を提供する。