[論文レビュー] Hurwitz numbers for regular coverings of surfaces by seamed surfaces and Cardy-Frobenius algebras of finite groups

Andrei V. Alexeevski, S. M. Natanzon|ArXiv.org|Sep 22, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、マークされた点および境界での特異点を含む、シーム付き表面による表面の正則被覆のためのHurwitz数を導入する。これは古典的Hurwitz数を一般化し、被覆とKleinトポロジカル場理論（KTFT）の間の対応を確立し、有限群作用から新たなクラスのCardy-Frobenius代数を構成し、Frobenius代数構造と群論的不変量を用いたHurwitz数の代数的公式を提示する。

ABSTRACT

Analogue of classical Hurwitz numbers is defined in the work for regular coverings of surfaces with marked points by seamed surfaces. Class of surfaces includes surfaces of any genus and orientability, with or without boundaries; coverings may have certain singularities over the boundary and marked points. Seamed surfaces introduced earlier are not actually surfaces. A simple example of seamed surface is book-like seamed surface: several rectangles glued by edges like sheets in a book. We prove that Hurwitz numbers for a class of regular coverings with action of fixed finite group $G$ on cover space such that stabilizers of generic points are conjugated to a fixed subgroup $K\subset G$ defines a new example of Klein Topological Field Theory (KTFT). It is known that KTFTs are in one-to-one correspondence with certain class of algebras, called in the work Cardy-Frobenius algebras. We constructed a wide class of Cardy-Frobenius algebras, including particularly all Hecke algebras for finite groups. Cardy-Frobenius algebras corresponding to regular coverings of surfaces by seamed surfaces are described in terms of group $G$ and its subgroups. As a result, we give an algebraic formula for introduced Hurwitz numbers.

研究の動機と目的

• シーム付き表面による表面の正則被覆の一般化されたHurwitz数を定義し、マークされた点および境界での特異点を含む。
• このような被覆とKleinトポロジカル場理論（KTFT）との間の対応を確立する。
• 特に固定部分群K ⊂ Gに同型な安定化子を持つものとして、有限群作用から新しいクラスのCardy-Frobenius代数を構成する。
• Frobenius代数構造と群論的データに基づいたHurwitz数の代数的公式を提示する。

提案手法

• 特異被覆をモデル化するため、本物の表面でないオブジェクト（例えば、本のような構造）としてのシーム付き表面を定義する。
• 一般点の安定化子が固定部分群K ⊂ Gに共役であるG-被覆のためのHurwitz数を導入する。
• マークされた点および境界における位相的不変量を用いて、シーム付き表面による表面のG-被覆のカテゴリからKTFTを構成する。
• 可換Frobenius代数A、Frobenius代数B、準同型φ: A → B、および単位元Uを用いてCardy-Frobenius代数を定義し、Cazimir要素KAとKBを導入する。
• Kを含む部分群の集合にN = NG(K)/Kの群作用を用いて、Cardy-Frobenius代数の代数的構造を構築する。
• Frobenius代数のトレースに類似した線形形式lAとlB、およびCazimir要素KA^gとU^{2g}（可定向性に依存）を用いて、Hurwitz数の公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的Hurwitz数は、どのようにしてマークされた点および境界を持つ表面の特異被覆を扱うために、シーム付き表面を用いて一般化できるか？
• RQ2 シーム付き表面による表面の正則G-被覆の背後にある代数的構造は何か？また、KTFTとどのように関係するか？
• RQ3 特に固定部分群Kに同型な安定化子を持つ有限群作用から、どのようにしてCardy-Frobenius代数を構成できるか？
• RQ4 Frobenius代数データと群論的不変量の観点から、Hurwitz数の明示的代数的公式は何か？

主な発見

• 本稿では、有限群作用から新たなクラスのCardy-Frobenius代数を構成し、有限群のすべてのヘッケ代数を含む。
• シーム付き表面によるG-被覆に関連するCardy-Frobenius代数は、群Gとその部分群、特にN = NG(K)/Kの作用を用いて明示的に記述される。
• 可定向な表面のHurwitz数は、lB(φ(α1…αmKAg)β11…β1m1KB…βs1…βsm s)で与えられ、KAはAのCazimir要素である。
• 非可定向な表面では、KAgの代わりにU^{2g}が使われ、同じトレース構造が保持される：lB(φ(α1…αmU^{2g})β11…β1m1KB…βs1…βsm s)。
• 制限された局所不変量に対応する部分代数H_{N:Σ}が構成され、これはNG(K)による共共役作用に関して閉じた部分群S ⊃ Kに対応する。
• 例として、G = SnかつK = {e}の場合、得られるCardy-Frobenius代数は、以前の研究における実代数的曲線のものと同型である。