[論文レビュー] Hurwitz Spaces and Moduli Spaces as Ball Quotients via Pull-back

Brent Doran|ArXiv.org|Apr 20, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、交差ホモロジーとモノドロミーに基づくトポロジカルなプルバック構成を用いて、Deligne-Mostow モジュライ空間 $DM(n,\mu)$ 内に部分球面商を構成する。局所系統と交差形式からのヘルミート形式を用いた超幾何関数の解析により、非一様な2変数形式に関連するハーツィング空間が球面商構造をもつ条件を同定し、既知の結果（例えば、有理的楕円的表面のモジュライ空間が球面商である）を回復する。

ABSTRACT

We define hypergeometric functions using intersection homology valued in a local system. Topology is emphasized; analysis enters only once, via the Hodge decomposition. By a pull-back procedure we construct special subsets S_{pi}, derived from Hurwitz spaces, of Deligne-Mostow moduli spaces DM(n,mu). Certain DM(n,mu) are known to be ball quotients, uniformized by hypergeometric functions valued in a complex ball (i.e., complex hyperbolic space). We give sufficient conditions for S_{pi} to be a subball quotient. Analyzing the simplest examples in detail, we describe ball quotient structures attached to some moduli spaces of inhomogeneous binary forms. This recovers in particular the structure on the moduli space of rational elliptic surfaces given by Heckman and Looijenga. We make use of a natural partial ordering on the Deligne-Mostow examples (which gives an easy way to see that the original list of Mostow, eventually corrected by Thurston, is in error), and so highlight two key examples, which we call the Gaussian and Eisenstein ancestral examples.

研究の動機と目的

• Deligne-Mostow モジュライ空間 $DM(n,\mu)$ 内に部分球面商を構成するためのトポロジカルな手法を確立すること。
• 非一様な2変数形式のモジュライ空間における球面商構造の幾何学的・トポロジカルな起源を明確化すること。
• 交差ホモロジーとモノドロミー不変量を用いて、このようなモジュライ空間が部分球面商である条件を体系的に特定すること。
• アイゼンシュタイン先祖例を用いて、有理的楕円的表面のモジュライ空間における球面商構造を回復・再解釈すること。
• ガウスおよびアイゼンシュタイン先祖例が豊富な部分球面商構造を有する理由を示し、古典的モジュライ空間ととの関係を明らかにすること。

提案手法

• 局所系統に値をとる交差ホモロジーを用いて、モノドロミーに関して保存されるヘルミート形式 $\Psi$ を定義し、$\Gamma$-作用をもつ格子 $\Lambda$ を得る。
• 分岐被覆 $\pi: \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$ を通じたランク1局所系統のプルバック手順を適用し、非自明なモノドロミーを持つ点に限定する。
• 交差ホモロジーのホッジ分解を活用して正則1形式を抽出し、複素球面への超幾何写像 $HG_\mu$ を定義する。
• 双次数 $(a,b)$ の非一様2変数形式から $\mathbb{P}^1$ 上の $N$ 点配置へと写像する擬似判別式写像 $\Delta$ を構成する。ここで $N = ad_1 = bd_2$ である。
• 写像 $\Delta$ の次数とファイバー構造を解析し、特定の条件下で一般に $\gcd(a,b)$ 対1 または埋め込みであることを示す。
• 次元数え上げと背理法を用いて、$d_2 > d_1 + 1$ のとき $\Delta$ が根の単位根を除いて単射であり、$\Delta$ の次数が $\gcd(a,b)$ であることを証明する。これにより、超曲面の像と部分球面商が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐被覆 $\pi$ に関連するハーツィング空間が、Deligne-Mostow モジュライ空間 $DM(n,\mu)$ 内に部分球面商をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 交差ホモロジーとモノドロミー不変量を用いて、部分球面商を均一化する超幾何関数をどのように構成できるか？
• RQ3 非一様2変数形式から $N$ 点モジュライ空間への擬似判別式写像 $\Delta$ の幾何的意義は何か？
• RQ4 なぜガウスおよびアイゼンシュタイン先祖例は豊富な部分球面商構造を支持し、古典的モジュライ空間とどのように関係するのか？
• RQ5 写像 $\Delta$ が埋め込みまたは有限対1であるのはどのような場合か？ これはモジュライ空間構造にどのように影響するか？

主な発見

• 有理的楕円的表面のモジュライ空間（有理的ヴァイエルシュトラスファイブレーションによって記述される）は、アイゼンシュタイン先祖例と同型な超球面商である。
• 双次数 $(3,2,12)$ の場合、擬似判別式 $\Delta$ は適切な開部分集合上で埋め込みであり、部分球面商構造をもたらす。
• 双次数 $(6,2,6)$ および $(4,2,8)$ の場合、写像 $\Delta$ は一般に2対1であり、$DM(n,\mu)$ 内の余次元1の超曲面の像となる。これにより部分球面商が得られる。
• $d_2 > d_1 + 1$ の条件は、$\Delta$ が単位根を除いて単射であり、$\Delta$ の次数が $\gcd(a,b)$ であることを保証する。
• 性質 $G$ を用いた部分球面商の分類は、余次元1の超曲面としての擬似判別式像の分類と完全に一致する。
• 本稿では、Deligne-Mostow 例に自然な部分順序を特定し、これによりモストウの元のリストを是正・明確化し、最終的にサーストンによって精錬されたものにたどり着く。