[論文レビュー] Hybrid collocation perturbation for PDEs with random domains

Julio E. Castrillón-Candás, Fabio Nobile+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、楕円型PDEの確率的領域に対して、領域の変動を大規模および小規模成分に分割することで、ハイブリッドコロケーション・パerturbation法を提案する。大規模な変動はスパースグリッド確率的コロケーションで処理され、小規模な変動はパerturbation技術で近似される。この手法は、尾部展開係数に関して分散誤差において2次収束を達成し、標準的な確率的コロケーションを著しく上回り、小規模変動の次元数に関しては計算コストが最大で2次関数的、独立な場合には線形に抑えられる。

ABSTRACT

In this work we consider the problem of approximating the statistics of a given Quantity of Interest (QoI) that depends on the solution of a linear elliptic PDE defined over a random domain parameterized by $N$ random variables. The random domain is split into large and small variations contributions. The large variations are approximated by applying a sparse grid stochastic collocation method. The small variations are approximated with a stochastic collocation-perturbation method. Convergence rates for the variance of the QoI are derived and compared to those obtained in numerical experiments. Our approach significantly reduces the dimensionality of the stochastic problem. The computational cost of this method increases at most quadratically with respect to the number of dimensions of the small variations. Moreover, for the case that the small and large variations are independent the cost increases linearly.

研究の動機と目的

• 高次元の不確実性を有する確率的領域上で定義された楕円型PDEにおける、関心の対象（QoI）の統計量を計算する課題に対処すること。
• 多数の確率的変数を含む場合に、確率的コロケーション法の計算コストを、大規模および小規模な領域変動に分離することで低減すること。
• 支配的変動に対してスパースグリッドコロケーションを、残りの小規模変動に対してパerturbationを組み合わせた、証明可能な収束性を持つ手法を開発すること。
• 有限要素法、スパースグリッド、およびパerturbation近似に基づいて、QoIの平均および分散の厳密な誤差推定を導出すること。
• 特に次元数が増加する際、純粋な確率的コロケーションよりも収束が速いことを実証すること。

提案手法

• 確率的領域はN個の確率的変数でパラメータ化され、大規模変動（N_s項）と小規模変動（尾部、N_f項）に分解される。
• 大規模変動は、次元削減と計算コスト低減を目的として、Clenshaw-Curtisの求積点を用いた等方的Smolyakスパースグリッドで近似される。
• 小規模変動は、パerturbationアプローチによりモデル化され、QoIの平均および分散補正は尾部変数におけるテイラー展開を用いて計算される。
• 分散補正項は、複素数平面ℂ^{N_s}内に定義された領域Θ_{β,N_s}に解析接続可能に拡張され、収束解析が可能になる。
• 誤差推定は、領域変形の勾配の衰減速度およびスパースグリッド内のコロケーション点数に基づいて導出される。
• さらに高い次元設定においても効率を向上させるために、非等方的スパースグリッドへの拡張が行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的コロケーションとパerturbation法を組み合わせたハイブリッド手法は、確率的領域を伴うPDEに対して、純粋な確率的コロケーションよりも優れた収束速度を達成できるか？
• RQ2 大規模および小規模変動に分離した場合、計算コストは確率的変数の数に対してどのように変化するか？特に、大規模と小規模の変動に分離した場合のスケーリング特性は？
• RQ3 尾部展開係数およびコロケーション点数の関数として、QoIの分散の収束特性はどのように変化するか？
• RQ4 分散補正項は、複素数領域に解析的拡張可能であり、厳密な収束解析を可能にするか？
• RQ5 次元数が増加する際、純粋なコロケーション法と比較して、誤差の減衰および計算効率の観点から、この手法はどのように性能を発揮するか？

主な発見

• ハイブリッド手法は、尾部展開係数の和に関して2次収束を達成し、純粋な確率的コロケーションの線形収束を著しく上回る。
• 数値実験では、ハイブリッド手法の誤差減衰が速く、次元数が増加するに従い、最大で23倍の精度向上が確認された。
• 分散補正に必要なスパースグリッドのノード数は、特にパerturbation誤差が支配的である場合、純粋なコロケーションと比較してほとんど無視できるほど少ない。
• 小規模および大規模変動が独立である場合、計算コストは小規模変動の次元数に対して線形に増加する。
• この手法の収束速度は、領域変形の勾配の衰減速度に直接関連しており、勾配の衰減が速いほど収束性が向上する。
• 分散補正項は、ℂ^{N_s}内に明確に定義された領域に解析的拡張可能であり、厳密な収束解析を支援する。