[論文レビュー] Hybrid Finite Difference with the Physics-informed Neural Network for solving PDE in complex geometries

Zixue Xiang, Wei Peng+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、複雑な幾何形状における偏微分方程式（PDE）の解法の精度と効率を向上させるために、有限差分法（FDM）と物理情報付きニューラルネットワーク（PINN）を組み合わせたハイブリッド手法HFD-PINNを提案する。正則な領域では自動微分（AD）の代わりに局所的FDMを用い、複雑な境界ではADを維持することで、数値的不安定性や誤差の低減を実現する。さらに、メッシュ生成を回避するため符号付き距離関数（SDF）を用いたHFD-PINN-sdfを導入することで、不規則な領域において標準的なAD-PINNと比較して予測誤差が最大40倍まで低減された。

ABSTRACT

The physics-informed neural network (PINN) is effective in solving the partial differential equation (PDE) by capturing the physics constraints as a part of the training loss function through the Automatic Differentiation (AD). This study proposes the hybrid finite difference with the physics-informed neural network (HFD-PINN) to fully use the domain knowledge. The main idea is to use the finite difference method (FDM) locally instead of AD in the framework of PINN. In particular, we use AD at complex boundaries and the FDM in other domains. The hybrid learning model shows promising results in experiments. To use the FDM locally in the complex boundary domain and avoid the generation of background mesh, we propose the HFD-PINN-sdf method, which locally uses the finite difference scheme at random points. In addition, the signed distance function is used to avoid the difference scheme from crossing the domain boundary. In this paper, we demonstrate the performance of our proposed methods and compare the results with the different number of collocation points for the Poisson equation, Burgers equation. We also chose several different finite difference schemes, including the compact finite difference method (CDM) and crank-nicolson method (CNM), to verify the robustness of HFD-PINN. We take the heat conduction problem and the heat transfer problem on the irregular domain as examples to demonstrate the efficacy of our framework. In summary, HFD-PINN, especially HFD-PINN-sdf, are more instructive and efficient, significantly when solving PDEs in complex geometries.

研究の動機と目的

• 標準PINNが複雑または不規則な幾何形状におけるPDEの解法に直面する限界を解消すること。
• 数値的不安定性や誤差を引き起こす可能性がある領域における自動微分（AD）への依存度を低減すること。
• 複雑な領域における背景メッシュ生成の必要性を排除するため、メッシュフリーな有限差分アプローチを用いること。
• 異なる空間領域でFDMとPINNをハイブリッド的に使用することで、解の精度と学習の安定性を向上させること。
• 本手法の妥当性を、異なるコロケーション点の数やさまざまなPDEタイプの設定において検証すること。

提案手法

• HFD-PINNフレームワークは、正則な領域では自動微分を局所的有限差分スキームに置き換えつつ、複雑な境界ではADを維持する。
• HFD-PINN-sdfの変種は、符号付き距離関数を用いてランダムなコロケーション点における局所的スティンツを定義し、領域境界を越えることを回避する。
• 有限差分スティンツは、符号付き距離関数を用いて各点で適応的に適用され、不規則な境界付近での精度を保証する。
• PDEの残差、初期条件、境界条件が損失関数に統合され、残差における導関数の計算にFDMが用いられる。
• 安定性を評価するために、コンパクト有限差分法（CDM）やクランク＝ニコルソン法（CNM）などの複数の有限差分スキームが検証された。
• フレームワークは、双曲正弦正接活性化関数を用いた全結合深層ニューラルネットワークで構成され、10,000イテレーションでAdam最適化アルゴリズムにより学習される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則な領域において自動微分を有限差分に置き換えることで、複雑な幾何形状におけるPDEのPINN解法の精度が向上するか？
• RQ2 符号付き距離関数の使用が、境界を越えないメッシュフリーな有限差分近似を可能にするメカニズムは何か？
• RQ3 異なる有限差分スキーム（例：CDM、CNM）が、ハイブリッドHFD-PINNの収束性と安定性に与える影響は何か？
• RQ4 コロケーション点の数がHFD-PINNおよびHFD-PINN-sdfの性能に与える影響は何か？
• RQ5 HFD-PINN-sdfは、極めて不規則な領域におけるPDEの解法において、標準的なAD-PINNを上回る性能を示せるか？

主な発見

• HFD-PINN-sdfは、星型領域を有する2次元ポアソン方程式において、相対L2予測誤差を0.013まで低減し、AD-PINNを著しく上回った。
• 不規則な領域のテストケースにおいて、HFD-PINN-sdfの予測精度はAD-PINNの40倍以上も優れていた。
• 損失関数の収束がAD-PINNよりも安定しており、損失推移プロットから境界誤差および領域誤差が低く抑えられていた。
• 鋭い不規則な境界やコーナー領域を効果的に処理でき、中心部およびコーナーに穴のある熱伝導・熱移動問題のシナリオでその有効性が示された。
• 符号付き距離関数の使用により、背景メッシュ生成を必要とせずに高精度な局所的有限差分スティンツを実現できた。
• 本フレームワークは、さまざまなPDEタイプ（ポアソン、バーガース）および異なるコロケーション点の数の設定において、高いロバスト性を示した。