[論文レビュー] Hybrid scheme for Brownian semistationary processes

Mikkel Bennedsen, Asger Lunde+1 more|RePEc: Research Papers in Economics|Jul 10, 2015

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ゼロ付近でべき則的挙動を示すカーネルを有するブラウン運動的非定常（BSS）過程をシミュレートするためのハイブリッド離散化スキームを提案する。ゼロ付近ではべき関数近似を、それ以外では段階関数近似を組み合わせることで、標準的なリーマン和法よりも顕著に優れた平均二乗誤差性能を達成しながら、計算複雑性は同一のままである。

ABSTRACT

We introduce a simulation scheme for Brownian semistationary processes, which is based on discretizing the stochastic integral representation of the process in the time domain. We assume that the kernel function of the process is regularly varying at zero. The novel feature of the scheme is to approximate the kernel function by a power function near zero and by a step function elsewhere. The resulting approximation of the process is a combination of Wiener integrals of the power function and a Riemann sum, which is why we call this method a hybrid scheme. Our main theoretical result describes the asymptotics of the mean square error of the hybrid scheme and we observe that the scheme leads to a substantial improvement of accuracy compared to the ordinary forward Riemann-sum scheme, while having the same computational complexity. We exemplify the use of the hybrid scheme by two numerical experiments, where we examine the finite-sample properties of an estimator of the roughness parameter of a Brownian semistationary process and study Monte Carlo option pricing in the rough Bergomi model of Bayer et al. [Quant. Finance 16(6), 887-904, 2016], respectively.

研究の動機と目的

• ゼロ付近で特異的となるカーネルを有するBSS過程に対する標準的リーマン和離散化の収束性の悪さを解消する。
• ゼロ付近での正規変動カーネルの急峻さをより正確に捉えるシミュレーションスキームを開発する。
• 計算効率を維持しつつ、BSS過程の離散化における平均二乗誤差（MSE）を改善する。
• 粗さパラメータ $ \alpha $ の有限標本推定およびモンテカルロ価格設定を、粗いボラティリティを持つモデル（例：粗いベルゴミモデル）において可能にする。

提案手法

• BSS過程のストキャスティック積分表現におけるカーネル関数 $ g $ を、ゼロ付近ではべき関数で、それより大きなラグでは段階関数で近似する。
• ウィENER積分（ブラウン運動に関するもの）とリーマン和の線形結合としてハイブリッドスキームを構築する。
• 正則変動の理論を用いて、$ \alpha \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \setminus \{0\} $ の範囲で $ g(x) \propto x^\alpha $ がゼロ付近でどのように振る舞うかを厳密に特徴付ける。
• ガウス超幾何関数 $ {}_2F_1 $ を含む積分恒等式を用いて、ハイブリッドスキームの平均二乗誤差（MSE）の漸近的表現を導出する。
• ポターベンチ（Potter’s bound）およびスローリー変動関数の性質を用いて、MSEの成分に対する理論的上限を確立する。
• 粗いボラティリティの推定および粗いベルゴミモデルにおけるオプションプライシングに関する数値実験を通じて、スキームの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カーネル関数がゼロでべき則的特異性を示す場合、BSS過程の離散化誤差はどのように低減可能か？
• RQ2 べき則的および段階関数カーネル近似を組み合わせたハイブリッド離散化スキームの平均二乗誤差の漸近的挙動は何か？
• RQ3 提案されたハイブリッドスキームは、計算コストを増加させることなく、標準的な前方リーマン和法よりも高い精度を達成するか？
• RQ4 ハイブリッドスキームは、粗いボラティリティモデルにおける粗さパラメータ $ \alpha $ の有限標本推定に効果的に適用可能か？
• RQ5 粗いベルゴミモデルにおけるモンテカルロシミュレーションにおいて、ハイブリッドスキームはどのように性能を発揮するか？

主な発見

• ハイブリッドスキームの平均二乗誤差は、$ n^{-(2\alpha+1)}L_g(1/n)^2 $ のオーダーで減少する。ここで $ L_g $ はスローリー変動関数であり、理論的最適レートと一致する。
• ハイブリッドスキームの平均二乗誤差は、ゼロ付近でのべき関数近似による誤差が漸近的に支配的であり、これはリーマン和法による誤差よりも顕著に小さい。
• ハイブリッドスキームは、計算複雑性が同一であるにもかかわらず、標準的な前方リーマン和法よりも著しく高い精度を達成する。
• 数値実験により、ハイブリッドスキームがBSS過程における粗さパラメータ $ \alpha $ の有限標本推定においてより正確な推定値をもたらすことが確認された。
• 粗いベルゴミモデルにおけるモンテカルロオプションプライシングにおいて、ハイブリッドスキームはバイアスを低減し、収束性を改善することが示された。
• 理論的分析により、ハイブリッドスキームの誤差が漸近的に $ \mathbb{E}[\sigma(0)^2] D_n' $ と同等であることが確認された。ここで $ D_n' \sim n^{-(2\alpha+1)}L_g(1/n)^2 $ であり、これは漸近的条件下での最適性を確立する。