[論文レビュー] Hybrid Solver for the Radiative Transport Equation Using Finite Volume and Discontinuous Galerkin

Vincent Heningburg, Cory D. Hauck|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、放射輸送方程式（RTE）のためのハイブリッド有限体積（FV）/不連続ガラーキン（DG）空間離散化を提案する。RTEは、散乱支配の領域を特徴づける散乱成分（ collided ）と散乱のない成分（ uncollided ）に分解される。散乱成分は、散乱領域における精度を確保するための2次DG法で解かれる。一方、非散乱成分は、メモリ使用量と計算コストを削減するためのFV法で処理される。この手法は、完全なDG法と同等の精度を達成しながら、顕著に低いメモリ使用量と高速な解法時間を実現する。

ABSTRACT

We propose a hybrid spatial discretization for the radiative transport equation that combines a second-order discontinuous Galerkin (DG) method and a second-order finite volume (FV) method. The strategy relies on a simple operator splitting that has been used previously to combine different angular discretizations. Unlike standard FV methods with upwind fluxes, the hybrid approach is able to accurately simulate problems in scattering dominated regimes. However, it requires less memory and yields a faster computational time than a uniform DG discretization. In addition, the underlying splitting allows naturally for hybridization in both space and angle. Numerical results are given to demonstrate the efficiency of the hybrid approach in the context of discrete ordinate angular discretizations and Cartesian spatial grids.

研究の動機と目的

• 散乱支配領域における精度を保持しつつ、放射輸送方程式（RTE）に対する不連続ガラーキン（DG）法のメモリ使用量と計算コストを低減すること。
• RTEを散乱成分（ collided ）と非散乱成分（ uncollided ）に分割することで、有限体積（FV）法とDG法を組み合わせる空間ハイブリダイゼーション戦略を開発すること。
• ハイブリッド法が漸近的拡散極限を正しく捉え、高散乱領域における物理的整合性を保証すること。
• 既存の角運動量ハイブリッド手法と連携可能な、空間的および角運動量的ハイブリダイゼーションへの自然な拡張を可能にすること。
• 均一なDG離散化と比較して、メモリ使用量と解法時間の面で向上した計算効率を示すこと。

提案手法

• RTEは、散乱源を伴う散乱成分（ collided 方程式）と散乱を含まない非散乱成分（ uncollided 方程式）に作用素分解され、それぞれの空間離散化が別々に行えるようにする。
• 散乱成分は、メッシュが粗くても散乱を正確に扱える2次不連続ガラーキン（DG）法で離散化される。
• 非散乱成分は、自由度の数を減らし、メモリ使用量を低減する目的で2次有限体積（FV）法で離散化される。
• FV法では、方向に依存する上流バイアス勾配制限を用いた一貫した2次再構成が採用され、標準的なFV法よりも精度が向上する。
• ハイブリッド定式化は、直交グリッド上での離散座標角離散化を用いて実装され、既存の角運動量ハイブリッド手法とのシームレスな統合を可能にする。
• ベンチマーク問題と計算スケーリング解析を通じた数値的検証が行われ、メモリ使用量と演算回数が明示的に追跡されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FVとDG法を組み合わせたハイブリッド空間離散化により、散乱支配領域における放射輸送問題のメモリ使用量と計算コストを低減しつつ、精度を維持できるか？
• RQ2 ハイブリッドFV/DG法は、散乱度が非常に高い漸近的領域における拡散極限を正しく捉えているか？
• RQ3 ベンチマーク問題全体にわたり、ハイブリッド法のメモリ使用量と計算時間は、均一なDG離散化と比較してどの程度異なるか？
• RQ4 ハイブリッド空間手法は、離散座標法などの角運動量ハイブリダイゼーションに自然に拡張可能か？
• RQ5 ハイブリッドFV/DG法を用いることで、完全なDG法と比較して、メモリ使用量と解法時間の面でどの程度の定量的性能向上が得られるか？

主な発見

• ハイブリッドFV/DG法は、均一なDG法と比較して、顕著に低いメモリ使用量と計算時間を実現し、測定されたメモリオーバーヘッドは約21.7 MBであり、合計ベクトルストレージも低減されている。
• この手法は2次精度を維持し、無限散乱の定常状態・漸近的領域における拡散極限を数値的に確認した結果、正しく捉えている。
• 線源ベンチマークにおいて、ハイブリッド法は参照となるDG解と同等の精度を達成しながら、自由度の数を減らし、計算コストを低減している。
• 計算スケーリング解析から、メッシュサイズおよび角度数の増加に伴い、ハイブリッド法は効率的にスケーリングしており、演算回数とメモリ使用量は配列サイズおよびベクトル数から予測可能である。
• 方向に依存する上流バイアス勾配制限を用いたFV再構成により、非散乱領域における精度が標準的なFV法を上回り、低メモリで安定かつ正確な解が得られる。
• ハイブリッド手法は、既存の角運動量ハイブリッド手法（例えば、先行研究における離散座標ハイブリッド）と効率的に結合可能であり、多次元離散化戦略における相互運用性とモularityを示している。