[論文レビュー] Hybrid subconvexity for class group $L$-functions and uniform sup norm bounds of Eisenstein series

Asbjørn Christian Nordentoft|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2019

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ヘッケの公式を介してイゾトロピック形式に接続することで、虚二次体の類群L関数のハイブリッドサブコン vexity 界を確立する。主な貢献は、Eisenstein級数に対する一様なL∞ノルム界である：$|E(z,1/2+it)| \ll_{\varepsilon} y^{1/2}(|t|+1)^{1/3+\varepsilon}$ for $y \gg 1$ であり、これにより判別式およびスペクトル的側面における新たなサブコン vexity 評価が得られる。

ABSTRACT

In this paper we prove a hybrid subconvexity bound for class group $L$-functions associated to a quadratic extension $K/\mathbb{Q}$ (real or imaginary). Our proof relies on relating the class group $L$-functions to Eisenstein series evaluated at Heegner points using formulas due to Hecke. The main technical contribution is the following uniform sup norm bound for Eisenstein series $E(z,1/2+it)\ll_\varepsilon y^{1/2} (|t|+1)^{1/3+\varepsilon}, y\gg 1$, extending work of Blomer and Titchmarsh. Finally, we propose a uniform version of the sup norm conjecture for Eisenstein series.

研究の動機と目的

• 虚二次体の類群L関数のハイブリッドサブコン vexity 界を判別式 $D$ およびスペクトルパラメータ $t$ の観点から確立すること。
• Eisenstein級数 $E(z,1/2+it)$ の一様L∞ノルム界を、$y = \Im(z)$ および $t$ に依存する形で明示的に制御すること。
• Eisenstein級数のL∞ノルム問題と、ヘッケの公式を用いた類群L関数のサブコン vexity 評価を結びつけること。
• Eisenstein級数のL∞ノルム予想の均一版を提示し、凸性界を越えて拡張すること。

提案手法

• Heegner点におけるEisenstein級数に類群L関数を関連付けるヘッケの古典的公式を用いる：$L_K(s,\chi) = \frac{2^{s+1}\zeta(2s)|D|^{-s/2}}{\omega_K} \sum_{\mathfrak{a}} \chi(\mathfrak{a}) E(z_\mathfrak{a}, s)$。
• Eisenstein級数に対する一様L∞ノルム界を確立する：$|E(z,1/2+it)| \ll_{\varepsilon} y^{1/2}(|t|+1)^{1/3+\varepsilon}$ for $y \gg 1$ であり、BlomerとTitchmarshの結果を拡張する。
• 指数和の手法とダイアディック分解を用い、Eisenstein級数のフーリエ展開から生じる振動的和を制御する。
• 連続スペクトルに適応されたIwaniec–Sarnak法の変種を用い、スペクトル的側面における $1/3+\varepsilon$ の指数を導出する。
• 最適な平均化パラメータ $\rho \asymp Q(\mathbf{X})^{1/2}|t|^{-1/3}a^{-1/2}$ の選択により誤差項をバランスさせ、最終的な界を達成する。
• 一様界を活用して、$L_K(1/2+it,\chi)$ のハイブリッドサブコン vexity を導出し、$t$-側面において既存の結果を改善するとともに、$D$-依存性へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Eisenstein級数 $E(z,1/2+it)$ の一様L∞ノルム界を、$y = \Im(z)$ および $t$ に明示的な依存性を持つ形で確立できるか？
• RQ2 このような一様L∞ノルム界は、類群L関数 $L_K(s,\chi)$ のハイブリッドサブコン vexity 評価をどのように導けるか？
• RQ3 形 $|E(z,1/2+it)| \ll_{\varepsilon} y^{\delta}(|t|+1)^{\varepsilon}$ の界において、$\delta$ の最良の指数は何か？また、$\delta = 1/2$ は鋭いのか？
• RQ4 Eisenstein級数のL∞ノルム予想を $y$ と $t$ 全体にわたって均一に定式化できるか？また、サブコン vexity にどのような影響を与えるか？
• RQ5 ハイブリッドサブコン vexity 界における $L_K(1/2+it,\chi)$ の $D$ および $t$ への最適な依存性は何か？

主な発見

• 本稿は、一様L∞ノルム界を確立した：$|E(z,1/2+it)| \ll_{\varepsilon} y^{1/2}(|t|+1)^{1/3+\varepsilon}$ for $y \gg 1$ であり、これにより従来の $1/2+\varepsilon$ の凸性界およびYoungの $3/8+\varepsilon$ 界を改善する。
• この界は、類群L関数のハイブリッドサブコン vexity 評価を意味する：$L_K(1/2+it,\chi) \ll_{\varepsilon} |D|^{1/4+\varepsilon}(|t|+1)^{1/3+\varepsilon}$ であり、$1/2+\varepsilon$ の凸性界を改善する。
• 証明は、Eisenstein級数のフーリエ展開から生じる振動的和を制御するための、指数和の手法およびダイアディック分解の新規応用に依存する。
• 著者らは、任意の形の一様界 $|E(z,1/2+it)| \ll_{\varepsilon} y^{\delta}(|t|+1)^{\varepsilon}$ に対して $\delta \geq 1/2$ が成立しなければならないことを示し、$y^{1/2}$ 要素の鋭さを証明する。
• 本稿は、一様L∞ノルム予想を提示する：$|E(z,1/2+it)| \ll_{\varepsilon} y^{1/2}(|t|+1)^{\varepsilon}$ であり、これは類群L関数の族における $D$ および $t$ の両方の側面における同時Lindelöf予想を意味する。
• 誤差項の最適なバランスが平均化パラメータ $\rho$ の最適選択により達成され、これによりスペクトル的側面における $1/3+\varepsilon$ の指数が得られる。