[論文レビュー] Hybrid system modelling and simulation with Dirac deltas

Cláudio Gomes, Yentl Van Tendeloo+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2017

Modeling and Simulation Systems参考文献 12被引用数 2

ひとこと要約

本論文は、ディラックデルタ関数を用いたインパulse微分方程式を用いたハイブリッドシステムのシミュレーションの理論的根拠に基づくフレームワークを提案する。因果的ブロック図環境において、記号的アプローチと数値的アプローチを比較し、バネ付きボールモデルなどのインパルスによって引き起こされる不連続性を扱う際、記号的手法が数値的手法を上回ることを示している。これは、マシンレベルの数値誤差の影響を受ける中で、精度と安定性が向上するためである。

ABSTRACT

For a wide variety of problems, creating detailed continuous models of physical systems is impractical. Hybrid models can abstract away short transient behaviour in order to simplify the study of such systems. For example, when modelling a bouncing ball, the bounce can be abstracted as a discontinuous change of the velocity. Impulsive differential equations can be used to model and simulate hybrid systems such as the bouncing ball. In this approach, the force acted on the ball by the floor is abstracted as an impulse. Current simulators cannot handle such approximations well due to the limitations of machine precision.In this paper, we present two approaches for the simulation of impulses: symbolic and numerical. Our contribution is a theoretically founded description of both approaches in a Causal Block Diagram simulator, and an analysis of the conditions for which a symbolic approach is better than a numerical one.

研究の動機と目的

• ハイブリッドシステムにおけるディラックデルタ関数によるインパルス的力のモデル化において、現在のシミュレータが抱える限界を解消すること。
• 不連続ダイナミクスを有するシステムのための、因果的ブロック図環境内での理論的に整合性のあるシミュレーションフレームワークの開発。
• インパルス駆動システムにおいて、記号的シミュレーションが数値的シミュレーションを上回る条件の分析。
• バネ付きボールやスイッチング回路などの短時間の過渡挙動を示す物理的システムのシミュレーションにおける正確性と信頼性の向上。

提案手法

• 力がディラックデルタ関数として表現されるインパルス微分方程式を用いたハイブリッドシステムのモデリング。
• ディラックデルタ入力を扱えるように、システム方程式の記号的変換を可能にする因果的ブロック図シミュレータの実装。
• インパルスイベントにおける状態遷移を正確に求めるために、記号的計算を用い、数値近似誤差を回避する。
• 比較のための数値積分を用い、マシン精度が解の安定性および正確性に与える影響を分析する。
• 有限精度算術に起因する数値的不安定性を回避するための、記号的手法の条件を定義する。
• バネ付きボールなどのベンチマークハイブリッドシステムを用いて、アプローチの妥当性を検証し、解の忠実度と計算コストを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 記号的シミュレーションが、精度と安定性の観点で数値的シミュレーションを上回る条件は何か？
• RQ2 ディラックデルタ関数を因果的ブロック図シミュレータに効果的に統合し、不連続ダイナミクスをモデル化する方法は何か？
• RQ3 インパルスを伴うシステムをシミュレートする際、数値的手法の理論的および実用的限界は何か？
• RQ4 マシン精度は、インパルス微分方程式における数値的解の信頼性にどのように影響するか？
• RQ5 記号的計算は、急激な状態変化を示すハイブリッドシステムのシミュレーションにおいて、数値誤差を完全に排除できるか？

主な発見

• ディラックデルタインパルスを伴うシステムをモデリングする際、記号的シミュレーションは数値的シミュレーションよりもより正確かつ安定した結果を提供する。
• 数値的手法は、インパルスの統合に際して、マシン精度の制限により不安定性と不正確さを示す。
• 記号的アプローチは、インパルスイベントにおける状態遷移を解析的に計算することで、数値誤差を回避する。
• 記号的手法がインパルスモデリングにおいて数値的手法を常に上回ることを保証する理論的条件が導出された。
• このフレームワークにより、従来のシミュレータがインパルス表現の問題により失敗する可能性のある、バネ付きボールのようなハイブリッドシステムの信頼性のあるシミュレーションが可能になった。