[論文レビュー] Hybrid systems with memory: Existence and well-posedness of generalized solutions

Jun Liu, Andrew R. Teel|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般化された解を用いたハイブリッド時系列ドメイン上で、メモリを有するハイブリッドシステムの理論的枠組みを確立する。グラフィカル収束位相を用いることで、解の存在と適切な定義性（well-posedness）を保証する。主な貢献は、このようなシステムにおける前漸近的安定性が摂動に対してロバストであることを証明することであり、離散時系列と連続時系列の両方のシステムに一様な解析を可能にする。

ABSTRACT

Hybrid systems with memory refer to dynamical systems exhibiting both hybrid and delay phenomena. While systems of this type are frequently encountered in many physical and engineering systems, particularly in control applications, various issues centered around the robustness of hybrid delay systems have not been adequately dealt with. In this paper, we establish some basic results on a framework that allows to study hybrid systems with memory through generalized concepts of solutions. In particular, we develop the basic existence of generalized solutions using regularity conditions on the hybrid data, which are formulated in a phase space of hybrid trajectories equipped with the graphical convergence topology. In contrast with the uniform convergence topology that has been often used, adopting the graphical convergence topology allows us to establish well-posedness of hybrid systems with memory. We then show that, as a consequence of well-posedness, pre-asymptotic stability of well-posed hybrid systems with memory is robust.

研究の動機と目的

• ハイブリッドシステムにメモリを有するが、ジャンプと遅延による不連続性のため、安定性解析のためのロバストなツールが不足しているという問題に対処すること。
• 従来、メモリのないハイブリッドシステムに用いられてきた一般化された解の概念を、関数的遅延を有するシステムへと拡張すること。
• ハイブリッドデータの摂動に対して、安定な安定性解析を可能にする適切な定義性理論を構築すること。
• 離散時系列と連続時系列の両方のシステムに遅延を含む場合を、共通の理論的枠組みで統一的に解析すること。
• ハイブリッドシステムにメモリを有する場合のロバスト安定性理論の基盤を提供し、制御応用分野における今後の発展を支援すること。

提案手法

• 実時間とジャンプ回数をパrameterとするハイブリッド時系列ドメイン上で定義された一般化された解を用いて、ハイブリッドシステムにメモリを有するものを定式化する。
• ハイブリッド軌道の位相空間上でグラフィカル収束位相を用い、標準的な一様収束位相に代えて、解の不連続性をより適切に扱う。
• ハイブリッドデータの正則性条件（流れ関数とジャンプ関数がメモリアークの空間上に定義される）を仮定し、一般化された解の存在を確立する。
• ハイブリッドデータの摂動を導入し、初期条件に対する解の存在、一意性、連続的依存性の観点から適切な定義性を定義する。
• 関数微分包含と集合値解析の道具を用い、緩い正則性仮定のもとで適切な定義性を証明する。
• 適切な定義性の結果を応用し、前漸近的安定性のロバスト性を証明する。具体的には、システムデータの小さな摂動に対しても安定性が保たれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遅延とジャンプによる課題を考慮すると、ハイブリッドシステムにメモリを有する場合の一般化された解をどのように定義し、その存在をどのように証明できるか。
• RQ2 標準的一様収束が失敗する状況においても、ハイブリッドシステムにメモリを有する場合のロバストな解析を可能にする、どのような位相的枠組みが必要か。
• RQ3 ハイブリッドシステムにメモリを有する場合の解集合が、存在性、一意性、初期条件に対する連続的依存性を満たすために、どのような条件下に適切な定義性を満たすか。
• RQ4 ハイブリッドシステムにメモリを有する場合の前漸近的安定性は、システムデータの摂動に対してロバストか。
• RQ5 提案された枠組みは、離散時系列と連続時系列の両方のシステムに遅延を含む場合を、一つの理論的設定で統一的に解析可能か。

主な発見

• 流れ関数とジャンプ集合がメモリアークの空間上に定義されるという緩い正則性条件のもとで、ハイブリッドシステムにメモリを有する一般化された解が存在する。
• 適切な定義性は、一様収束よりも解の構造的性質をより適切に捉えるグラフィカル収束位相を用いることで確立される。
• 適切に定義されたハイブリッドシステムにメモリを有する場合の前漸近的安定性は、システムデータの摂動に対してロバストであり、小さな摂動に対しても安定性が保たれる。
• 解列のグラフィカル収束と極限解の安定性特性を用いた背理法により、前漸近的安定性のロバスト性が形式的に証明されている。
• この枠組みにより、逆リャプノフ定理や不変性原理といった、重要な安定性ツールをハイブリッドシステムにメモリを有する場合に拡張可能である。
• これらの結果は、遅延を有するハイブリッドシステムにおける包括的なロバスト安定性理論の構築を支援し、離散的・連続的ダイナミクスとメモリ効果を統合的に扱う。