[論文レビュー] Hybrid (V)CSPs and algebraic reductions.

Rustem Takhanov|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限代数 $\mathfrak{B}$ でインデックス付けられた一般化されたリフトド言語構成 $\bGamma^{\mathfrak{B}}$ を導入し、固定テンプレートCSPをより単純なインスタンスに還元する。自然な条件下で $\textsc{CSP}(\bGamma)$ が $\textsc{CSP}(\bGamma^{\mathfrak{B}})$ に多項式時間チューリング還元可能であることを証明し、多様性と構造的性質を結びつける。これは、Feder-Vardiの二分法予想を扱うための新たなツールを提供する。

ABSTRACT

Constraint Satisfaction Problem (CSP) can be stated as computing a homomorphism $\mbox{$\bR ightarrow \bGamma$}$ between two relational structures, e.g. between two directed graphs. Recently, the {\em hybrid} setting, where both sides are restricted simultaneously, attracted some attention. It assumes that the right side structure $\bGamma$ is fixed and $\bR$ belongs to a class of relational structures $\mathcal{H}$ (called a {\em structural restriction}) that is, additionally, {\em closed under inverse homomorphisms}. The key tool that connects hybrid CSPs with fixed-template CSPs is a construction called a lifted language, namely a multi-sorted language $\bGamma_{\bR}$ that can be constructed from an input $\bR$. The tractability of a language $\bGamma_{\bR}$ for any input $\bR\in\mathcal{H}$ is a necessary condition for tractability of the hybrid problem. First we investigate the case when the last property is not only necessary, but also is sufficient. It turns out that in the latter case, if Bulatov-Jeavons-Krokhin characterization of tractable constraint languages is correct, a structural restriction $\mathcal{H}$ is tractable if and only if it consists of structures that can be homomorphically mapped to some fixed finite relational structure $\bGamma'$ (that depends only on $\bGamma$). In the second part we generalize the construction of $\bGamma'$ and introduce a finite structure $\bGamma^{\mathfrak{B}}$, indexed by some set of finite algebras $\mathfrak{B}$. We prove that under some natural conditions on $\mathfrak{B}$, $ extsc{CSP}(\bGamma)$ is polynomial-time Turing reducible to $ extsc{CSP}(\bGamma^{\mathfrak{B}})$ and some polymorphisms of $\bGamma$ have analogs in $\pol(\bGamma^{\mathfrak{B}})$. This construction introduce a new set of algorithms for fixed-template CSPs and we suggest it as a tool to approach Feder-Vardi dichotomy conjecture.

研究の動機と目的

• 構造的制約下でのハイブリッドCSPの tractability に対して、リフトド言語 $\bGamma_{\bR}$ の tractability が必要かつ十分となる条件を調査すること。
• 有限構造 $\bGamma'$ の構成を、有限代数 $\mathfrak{B}$ でインデックス付けられたより広いクラスの構造 $\bGamma^{\mathfrak{B}}$ に一般化すること。
• 有限代数 $\mathfrak{B}$ に自然な条件が課された下で、$\textsc{CSP}(\bGamma)$ から $\textsc{CSP}(\bGamma^{\mathfrak{B}})$ への多項式時間チューリング還元を確立すること。
• 多様性の性質が $\bGamma$ において、$\pol(\bGamma^{\mathfrak{B}})$ においても同様に保存されることを示すこと。
• CSP理論におけるFeder-Vardiの二分法予想の解決に向けた新たなアルゴリズム的ツールとして、$\bGamma^{\mathfrak{B}}$ を提案すること。

提案手法

• 構造的制約 $\mathcal{H}$ が逆ホモモーフィズムに関して閉じていると仮定し、入力構造 $\bR$ からマルチソートリフトド言語 $\bGamma_{\bR}$ を構成する。
• 有限代数 $\mathfrak{B}$ の集合でインデックス付けされた有限関係的構造 $\bGamma^{\mathfrak{B}}$ を導入し、以前の $\bGamma'$ の構成を一般化する。
• 有限代数 $\mathfrak{B}$ に自然な条件（たとえば、特定の項演算に関して閉じていること）が課された下で、$\textsc{CSP}(\bGamma)$ から $\textsc{CSP}(\bGamma^{\mathfrak{B}})$ への多項式時間チューリング還元を確立する。
• 多様性の性質が $\bGamma$ において、$\pol(\bGamma^{\mathfrak{B}})$ においても同様に保存されることを示す。
• リフト構造 $\bGamma^{\mathfrak{B}}$ を用いて、複雑なCSPインスタンスを単純化されたものにシミュレート・還元し、アルゴリズム的探索を可能にする。
• Bulatov-Jeavons-Krokhinの特徴付けを活用し、構造的制約 $\mathcal{H}$ が固定された $\bGamma'$ へのホモモーフィズム写像に結びつくことを示す（その特徴付けが正しいものと仮定して）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイブリッドCSPの tractability に対して、リフトド言語 $\bGamma_{\bR}$ の tractability が必要かつ十分となる条件は何か？
• RQ2 $\bGamma'$ の構成を、有限関係的構造の範囲を越えて、有限代数 $\mathfrak{B}$ を用いた代数的インデックス付けへ一般化できるか？
• RQ3 適切に選ばれた $\mathfrak{B}$ に対して、$\textsc{CSP}(\bGamma)$ が $\textsc{CSP}(\bGamma^{\mathfrak{B}})$ に多項式時間チューリング還元可能か？
• RQ4 $\bGamma$ の多様性が $\pol(\bGamma^{\mathfrak{B}})$ において識別可能な類似物を持つのか。また、そのような対応が代数的構造をどのように保存するか？
• RQ5 $\bGamma^{\mathfrak{B}}$ の構成は、Feder-Vardiの二分法予想の解決への実用的道筋となり得るか？

主な発見

• Bulatov-Jeavons-Krokhinの特徴付けが正しいものと仮定すると、ハイブリッドCSP設定における構造的制約 $\mathcal{H}$ の tractability は、$\mathcal{H}$ に属するすべての構造が固定された有限関係的構造 $\bGamma'$ にホモモーフィズムで写像可能であることと同値である。
• $\bGamma^{\mathfrak{B}}$ の構成は、$\bGamma'$ を有限代数 $\mathfrak{B}$ の集合でインデックス付けすることで一般化されており、より広範な代数的操作を可能にする。
• 有限代数 $\mathfrak{B}$ に自然な条件が課された下で、$\textsc{CSP}(\bGamma)$ は $\textsc{CSP}(\bGamma^{\mathfrak{B}})$ に多項式時間チューリング還元可能であり、複雑なCSPをアルゴリズム的に還元することが可能になる。
• $\bGamma$ の多様性は $\pol(\bGamma^{\mathfrak{B}})$ において対応する類似物を持ち、還元過程で重要な代数的性質が保存される。
• $\bGamma^{\mathfrak{B}}$ の構成は、固定テンプレートCSPを探索するための新しいフレームワークを提供し、Feder-Vardiの二分法予想に迫るためのツールとして機能する可能性がある。
• リフトド言語 $\bGamma_{\bR}$ はハイブリッドCSPの tractability に対して必要条件のままであり、本稿ではそれが十分条件となる条件を同定している。