[論文レビュー] Hybrid zonotopes: a new set representation for reachability analysis of mixed logical dynamical systems

Trevor J. Bird, Herschel C. Pangborn+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2021

Formal Methods in Verification被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、混合論理動的（MLD）システムとしてモデル化された離散時間線形ハイブリッドシステムの正確な到達集合をコンactに表現できる、新しい非凸集合表現であるハイブリッドゾノトープを導入する。連続的および二値的ゾノトープ要因を組み合わせることで、$2^N$ 個の制約付きゾノトープの和集合を、表現複雑度が線形に増加する形で表現可能となり、指数的爆発を伴わずに正確な到達集合解析を可能にする。

ABSTRACT

This article presents a new set representation named the hybrid zonotope that is equivalent to the union of $2^N$ constrained zonotopes -- convex polytopes -- through the addition of $N$ binary zonotope factors. The major contribution of this manuscript is a closed-form solution for exact forward reachable sets of discrete-time, linear hybrid systems modeled as mixed logical dynamical systems. The proposed approach captures the worst-case exponential growth in the number of convex sets required to represent the nonconvex reachable set while exhibiting only linear growth in the complexity of the hybrid zonotope set representation. Redundancy removal techniques are provided that leverage binary trees to store the combinations of binary factors of the hybrid zonotope that map to nonempty convex subsets. Numerical examples show the hybrid zonotope's ability to compactly represent nonconvex reachable sets with an exponential number of features. Furthermore, the hybrid zonotope is shown to be closed under linear mappings, Minkowski sums, generalized intersections, and halfspace intersections.

研究の動機と目的

• ハイブリッドシステムの到達集合解析における凸集合表現の指数的増加を解消すること。
• 過剰近似を伴わずに線形MLDシステムの正確な到達集合を表現できる非凸集合表現の開発。
• 非凸凸集合の和集合の表現における冗長性を低減することで、到達集合の計算を効率化すること。
• 集合理論的解析に応用可能な主要な集合演算（線形写像、ミンコフスキー和、交差）に対して閉じていることを保証すること。
• 保守的で計算的に非実行可能な過剰近似ベースの手法に対する、スケーラブルで正確な代替手法の提供。

提案手法

• $N$ 個の二値的ゾノトープ要因を用いて、$2^N$ 個の制約付きゾノトープの和集合としてハイブリッドゾノトープを定義し、非凸到達集合の正確な表現を可能にする。
• ハイブリッドゾノトープを用いて、離散時間MLDシステムの前方到達集合に対して閉形式解を導出。ガードの通過、ダイナミクスのスイッチング、リセット写像を暗黙的に埋め込む。
• 二分木と混合整数プログラミングを用いて、空集合に写像される二値要因の組み合わせを同定・削除する。
• 支持関数の計算と半空間交差の検出を、混合整数線形計画法（MILP）の定式化により効率的に実行する。
• ハイブリッドゾノトープ構造の代数的性質を活用し、線形写像、ミンコフスキー和、一般化された交差、半空間交差に対して閉じていることを保証する。
• YALMIPを用いて手法を実装し、2つのベースライン手法（M1：制約付きゾノトープによる指数的増加、M2：MILPベースのコンパクト表現）と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表現複雑度が線形増加する非凸集合表現を開発し、線形ハイブリッドシステムの正確な到達集合を表現できるか。
• RQ2 ガードの通過やモードスイッチングによる到達集合の指数的分岐を、凸集合の数を爆発的に増やさずに表現できるか。
• RQ3 正確性と計算効率を保ったまま、ハイブリッドゾノトープ表現における冗長性をどの程度削減できるか。
• RQ4 ベンチマーク問題において、ハイブリッドゾノトープは計算時間、表現サイズ、スケーラビリティの観点で既存手法と比較してどのように差をつけるか。
• RQ5 ハイブリッドゾノトープは、ミンコフスキー和や半空間交差といった基本的な集合演算を、計算的に効率的かつ正確にサポートできるか。

主な発見

• ハイブリッドゾノトープ表現は、従来手法の最悪ケースの指数的増加とは対照的に、表現複雑度が線形増加する一方で、MLDシステムの正確な到達集合計算を達成している。
• Case $(12,4)$ において、M1手法は20時間以上経過しても完了しなかったが、ハイブリッジゾノトープ手法（HCG-r）は1秒未塔で完了し、最小限のオーバーヘッドで処理された。
• 冗長性削除を施した削減版ハイブリッドゾノトープ（HCG-r）は、支持関数評価および半空間交差検出の平均計算時間が最も低く、M1およびM2を上回った。
• Case $(12,4)$ において、ハイブリッドゾノトープを用いた手法（HCG-r）は、連続的生成子1312個と二値変数1604個で実現したが、M1では170万個を超える凸集合を必要としていた。
• ハイブリッドゾノトープは、線形写像、ミンコフスキー和、一般化された交差、半空間交差に対して閉じており、広範な集合理論的解析パイプラインへの応用が可能である。
• 数値結果から、ハイブリッドゾノトープは、線形数のパラメータで指数的数の特徴を持つ非凸到達集合をコンパクトに表現でき、スケーラビリティと効率性が著しく向上していることが示された。