[論文レビュー] Hydrodynamic limit for particle systems with degenerate rates without exclusive constraints

Makiko Sasada|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2010

Theoretical and Computational Physics参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、d次元離散トーラス上における非排他的なサイトあたり粒子数制約のない、退化した遷移率を有する保存的粒子系の流体力学的極限を確立する。相対エントロピー法を用いて、初期分布がゼロから離れた滑らかなものである場合、巨視的密度分布が拡散が密度がゼロに近づくと消えることを特徴とする修正ポーラス媒体方程式（MPME）に従って進化することを証明する。

ABSTRACT

We consider the hydrodynamic behavior of some conservative particle systems with degenerate jump rates without exclusive constraints. More precisely, we study the particle systems without restrictions on the total number of particles per site with nearest neighbor exchange rates which vanish for certain configurations. Due to the degeneracy of the rates, there exists blocked configurations which do not evolve under the dynamics and all of the hyperplanes of configurations with a fixed number particles can be decomposed into different irreducible sets. We show that, for initial profiles smooth enough and bounded away from zero, the macroscopic density profile evolves under the diffusive time scaling according to a nonlinear diffusion equation (which we call the modified porous medium equation). The proof is based on the Relative Entropy method but it cannot be straightforwardly applied because of the degeneracy.

研究の動機と目的

• d次元トーラス上における非排他的なサイトあたり粒子数制約のない、退化した遷移率を有する保存的粒子系の流体力学的極限を導出すること。
• 拡散的時間スケーリング下で、巨視的密度分布が修正ポーラス媒体方程式（MPME）に従って進化することを示すこと。
• 粒子数制限のない系にまで拡張されたポーラス媒体方程式の既存結果を、遷移率の退化を扱う形に拡張すること。
• 標準的仮定が成立しない退化率の存在下でも、相対エントロピー法の有効性を確立すること。

提案手法

• 状態空間 $\mathbb{N}^{\mathbb{T}^d_N}$ 上の連続時間マコロフ過程として系をモデル化し、$\eta(x)$ はサイト $x$ における粒子数を表す。
• 生成子 $L_N$ を定義し、$c(x,y,\eta)g(\eta(x))$ の形の退化率を導入する。ここで $g(k) = 0$ となるのは $k = 0$ の場合に限る。$c(x,y,\eta)$ は局所的構成と最近接隣接構造に依存する。
• 相対エントロピー法を用いて流体力学的極限を証明し、1ブロック推定とブロック適合手順を導入することで退化性に対処する。
• グランドカノニカルギブス測度 $\nu_{\rho}$ とのカップリングを通じて、対数ソボレフ型不等式と指数モーメントの上限を適用し、エントロピー生成を制御する。
• 測度 $\nu_{\rho}$ の下での経験測度に関する大偏差原理を用い、レート関数 $J_\beta(\lambda)$ を導入することで、局所平衡測度に対する相対エントロピーを制御する。
• 局所平均 $\eta^l(x)$ を用いた切断手続きを導入し、局所化の議論を用いて、退化性が存在する状況下でのエントロピー生成を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非排他的なサイトあたり粒子数制約のない保存的粒子系において、退化した遷移率を有する場合に流体力学的極限を確立できるか？
• RQ2 非排他的制約の下でも、巨視的密度分布は依然として非線形拡散方程式に従って進化するか？
• RQ3 生成子が一様に強楕円的でない退化率に対処するため、相対エントロピー法をどのように修正できるか？
• RQ4 修正ポーラス媒体方程式への収束を保証するための、関数 $g$ に必要な条件は何か？

主な発見

• 初期分布が滑らかでゼロから離れている場合、流体力学的極限が成立し、巨視的挙動は修正ポーラス媒体方程式（MPME）に従う。
• MPME は $\partial_t \rho = \Delta(\Phi(\rho)^m)$ で与えられ、$m \in \mathbb{N} \setminus \{0,1\}$ であり、$\Phi(\rho)$ は $\Phi(0) = 0$ を満たす滑らかで厳密に増加する関数である。
• 拡散係数 $D(\rho) = m\Phi(\rho)^{m-1}\Phi'(\rho)$ は $\rho \to 0$ のとき消え、退化領域では方程式が放物型を失う。
• 1ブロック推定と局所化の議論を導入することで、相対エントロピー法が退化系に成功裏に適応された。この手法により、指数モーメントの上限を用いてエントロピー生成が制御される。
• 関数 $g$ に必要な主要な技術的条件 $(G)$ が導入され、これは $m$ に依存し、エントロピー推定に必要なモーメント上限を保証する。
• 証明により、流体力学的極限においてエントロピー生成が消えることが示され、すべての $t \in [0,T]$ に対して制限されたプロファイルがMPMEを満たす。