[論文レビュー] Hydrodynamic Theory of the Connected Spectral Form Factor

Michael Winer, Brian Swingle|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2020

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、量子カオス的系における接続されたスペクトル形式因子（SFF）の流体力学的有効場理論を構築し、初期時刻におけるランダム行列理論（RMT）のラムプからの補正を支配する緩やかな流体モード、特にエネルギー拡散がどのように作用するかを示している。この枠組みは、ほぼ保存されるセクターを有する系におけるSFFの一般式を導出し、SFFに必要な周期的時間経路に合わせてフラクチュエーティング流体力学を適応させ、トゥースル時間（Thouless time）が流体力学的緩和によって決定されることを予測する。ハミルトニアン系およびフロケ系の両方に対して明示的な結果が得られている。

ABSTRACT

One manifestation of quantum chaos is a random-matrix-like fine-grained energy spectrum. Prior to the inverse level spacing time, random matrix theory predicts a `ramp' of increasing variance in the connected part of the spectral form factor. However, in realistic quantum chaotic systems, the finite time dynamics of the spectral form factor is much richer, with the pure random matrix ramp appearing only at sufficiently late time. In this article, we present a hydrodynamic theory of the connected spectral form factor prior to the inverse level spacing time. We start from a discussion of exact symmetries and spectral stretching and folding. We then derive a general formula for the spectral form factor of a system with almost-conserved sectors in terms of return probabilities and spectral form factors within each sector. Next we argue that the theory of fluctuating hydrodynamics can be adapted from the usual Schwinger-Keldysh contour to the periodic time setting needed for the spectral form factor, and we show explicitly that the general formula is recovered in the case of energy diffusion. We also initiate a study of interaction effects in this modified hydrodynamic framework and show how the Thouless time, defined as the time required for the spectral form factor to approach the pure random matrix result, is controlled by the slow hydrodynamics modes.

研究の動機と目的

• ランダム行列理論を超えた量子カオス的系におけるスペクトル相関の体系的有効場理論を確立すること。
• 初期時刻におけるランダム行列ラムプからのずれを支配する緩やかな流体モード（特にエネルギー拡散）がどのように作用するかを特定すること。
• ハミルトニアン系からフロケ系への拡張を図り、弱い駆動下でハミルトニアンSFFからフロケSFFへのクロスオーバーを導出すること。
• SFFがRMTの結果に近づく時間スケールとしてのトゥースル時間を、流体力学的緩和に基づく統一的記述として提供すること。

提案手法

• ほぼ保存されるセクターを有する系における接続されたスペクトル形式因子の一般式を、帰還確率とセクター固有のSFFを用いて導出する。
• スペクトル形式因子に必要な周期的時間経路に合わせて、シュヴィンガー＝ケルディッシュに類似したアプローチを用いてフラクチュエーティング流体力学の形式的枠組みを適応する。
• エネルギー拡散のケースにおいて、SFFが確率的偏微分方程式に写像されることを示し、その結果得られる作用が共役場に関して線形であることを確認することで、一般式が回復されることを示す。
• 流体力学的枠組みを用いてSFFへの相互作用補正を計算し、トゥースル時間を流体モードの緩和時間として同定する。
• 弱い駆動下で、ハミルトニアンラムプからフロケラムプへのクロスオーバー公式をハミルトニアン系から導出し、フロケ系への一般化を行う。
• スペクトルのアンフォールディングとフィルタリング技術を用いて、非線形スペクトル変形（折りたたみや伸長を含む）に対するラムプ係数のロバスト性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー拡散などの流体モードは、量子カオス的系における接続されたスペクトル形式因子の初期時刻挙動にどのように寄与するか？
• RQ2 トゥースル時間はRMTラムプへの近づき方において果たす役割は何か？そして、流体力学的緩和によってどのように決定されるか？
• RQ3 フロケ系のスペクトル形式因子はハミルトニアン系とどのように異なり、弱い周期的駆動下でのクロスオーバー挙動はいかなるものか？
• RQ4 非線形スペクトル変換（伸長や折りたたみを含む）に対して、スペクトル相関、特にSFFのラムプはどの程度不変か？
• RQ5 流体力学に基づく有効場理論は、遅い時間におけるランダム行列ラムプと、物理的ハミルトニアン構造に由来する初期時刻補正の両方を再現できるか？

主な発見

• 流体力学的理論は、ほぼ保存されるセクターを有する系における接続されたスペクトル形式因子の一般式を再現し、帰還確率とセクター固有のSFFとを結びつける。
• SFFがRMTの結果に近づく時間（トゥースル時間）は、緩やかな流体モード（特にエネルギー拡散）の緩和時間によって決定される。
• エネルギー拡散のケースでは、SFFが確率的偏微分方程式に写像され、その結果得られる作用が共役場に関して線形であることが確認され、流体力学的導出が裏付けられる。
• フロケ系では、弱い駆動下でハミルトニアンラムプからフロケラムプへのクロスオーバー公式を導出し、周期的駆動によりラムプ係数が異なることが示された。
• 特異的でないスペクトルの折りたたみや伸長は、変換が滑らかで非退化である限り、SFFのラムプ係数を保存する。多価領域では、ラムプ係数が分岐数に比例してスケーリングする。
• 数値結果は、$f_{\text{stretch}}(E) = E - E^3$ などの複数の固有値分岐を含むケースを含め、伸長および折りたたみスペクトルにおけるラムプ係数の解析的予測を確認している。