[論文レビュー] Hydrodynamics of correlated systems. Emptiness Formation Probability and Random Matrices

Alexander G. Abanov|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2005

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 19被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、1次元量子多体系の基底状態における巨視的空領域の確率である空隙形成確率（EFP）の漸近的挙動を計算する非線形流体力学的手法を開発する。問題を流体力学的変数上のユークリッド経路積分に写像し、主要なインスタントン配置を同定することで、自由フェルミ粒子およびカラジェロ＝サザンダー模型に対して正確な漸近的挙動を導出し、ランダム行列理論の予測と一致することを確認するとともに、線形化近似を超えた非線形流体力学の有効性を示している。

ABSTRACT

A hydrodynamic approach is used to calculate an asymptotics of the Emptiness Formation Probability - the probability of a formation of an empty space in the ground state of a quantum one-dimensional many body system. Quantum hydrodynamics of a system is represented as a Euclidian path integral over configurations of hydrodynamic variables. In the limit of a large size of the empty space, the probability is dominated by an instanton configuration, and the problem is reduced to the finding of an instanton solution of classical hydrodynamic equations. After establishing a general formalism, we carry out this calculation for several simple systems -- free fermions with an arbitrary dispersion and Calogero-Sutherland model. For these systems we confirm the obtained results by comparison with exact results known in Random Matrix theory. We argue that the nonlinear hydrodynamic approach might be useful even in cases where the linearized hydrodynamics fails.

研究の動機と目的

• 量子多体系におけるレアフラクチュエーションを計算するための非線形流体力学的フレームワークを構築すること。
• 大規模な空領域における空隙形成確率（EFP）の漸近的挙動を計算すること。
• 線形化流体力学が失敗する領域において、非線形流体力学が非摂動的効果を捉えられることを示すこと。
• 可解な量子多体系におけるEFPとランダム行列理論との間の関係を確立すること。
• フリードホルム行列式および多重積分からの正確な結果と照合することで、流体力学的インスタントン法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 系の量子流体力学的記述を流体力学的変数上のユークリッド経路積分として表現する。
• EFPへの主要寄与が、古典的流体力学方程式のインスタントン解に起因することを同定する。
• インスタントン法を用いて、大規模なRの極限におけるEFPの主要項の漸近的挙動を計算する。
• 非線形流体力学的形式を用いて、任意の分散関数を持つ自由フェルミ粒子およびカラジェロ＝サザンダー模型を分析する。
• 流体力学的結果を、フリードホルム行列式表現も含めたランダム行列理論からの正確な表現と比較する。
• EFPとランダム行列集合における与えられた区間内に固有値が存在しない確率との対応関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形化流体力学が失敗する1次元量子系において、非線形流体力学が正確にEFPの漸近的挙動を計算できるか？
• RQ2 大規模なRの極限におけるEFPの主要項の挙動を決定する上で、インスタントン配置が果たす役割は何か？
• RQ3 EFPの流体力学的アプローチは、既知のランダム行列理論の結果とどのように関係しているか？
• RQ4 どの量子多体系において、非線形流体力学的形式が、まれな事象の正確な漸近的挙動をもたらすか？
• RQ5 流体力学的インスタントン法は、自由フェルミ粒子およびカラジェロ＝サザンダー模型を超えた可解模型に対しても体系的に適用可能か？

主な発見

• 任意の分散関数を持つ自由フェルミ粒子のEFPの漸近的挙動が、非線形流体力学的インスタントン法によって正確に再現された。
• カラジェロ＝サザンダー模型のEFPが、流体力学的手法を介してランダム行列理論からの正確な結果と一致することが示された。
• 古典的流体力学方程式のインスタントン解が、大規模なRの極限において経路積分の主要寄与を占め、主要項の漸近的挙動を提供する。
• 非線形流体力学的形式は、線形化流体力学が見逃す非摂動的効果を効果的に捉えている。
• 漸近的領域における正確な一致を通じて、EFPとランダム行列集合における固有値が存在しない確率との関係が確認された。
• この手法は、摂動論を超えた相関する量子系におけるまれなフラクチュエーション確率を体系的に計算するフレームワークを提供する。