[論文レビュー] Hyper-Kahler geometries and nonlinear supermultiplets

Č. Burdík, S. Krivonos+1 more|ArXiv.org|Sep 30, 2006

Advanced Differential Geometry Research被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、1次元の $N=4$ および $N=8$ スーパーシンメトリー・シグマ模型における結合定数の二重化手続きを提示する。結合定数の定数性をラグランジュ乗数を用いて動的制約として扱う。この手法を非線形なオフシェル・スーパーマルチプレットに適用することで、1つの三ホロモーフィック等Isoメトリを有するハイパー・ケーラー的標的空間を持つ一般の $N=4$ および $N=8$ スーパーシンメトリー・シグマ模型が構成され、ギブンズ＝ホーキング型の最も一般な4次元ハイパー・ケーラー幾何が得られる。

ABSTRACT

It is presented a method of construction of sigma-models with target space geometries different from conformally flat ones. The method is based on a treating of a constancy of a coupling constant as a dynamical constraint following as an equation of motion. In this way we build N=4 and N=8 supersymmetric four-dimensional sigma-models in d=1 with hyper-Kahler target space possessing one isometry, which commutes with supersymmetry.

研究の動機と目的

• 非共形的平坦でない標的空間を持つ $N=4$ および $N=8$ スーパーシンメトリー・シグマ模型を構築し、従来の手法の制限を克服すること。
• $N=2$ 4次元シグマ模型の次元削減から生じるハイパー・ケーラー幾何を記述できない既存モデルのギャップを解消すること。
• 1次元における非線形なオフシェル・スーパーマルチプレットを体系的に生成する手法を開発すること。これは、非共形的平坦な標的空間幾何を実現するために不可欠である。
• 結合定数を動的制約として二重化することで、1つの三ホロモーフィック等Isoメトリを有するハイパー・ケーラー多様体が得られることを示すこと。特に $N=8$ の場合に注目する。

提案手法

• 結合定数 $g$ の定数性を動的制約として扱うためにラグランジュ乗数を導入し、$g = \text{const}$ を $\dot{g} = 0$ として運動方程式に置き換える。
• 結合定数 $g(t)$ を動的場として含むように作用を拡張し、$g$ が定数ではなく時間の関数となる新しい作用を導出する。
• $N=2$ スーパーフィールド形式を用い、実スーパーフィールド $V$、全純スーパーフィールド $\Phi$、$\bar{\Phi}$、および調和関数 $H$ を満たすポテンシャル項 $gH$ を含む。ここで $H$ は $H_{VV} + H_{\Phi\bar{\Phi}} = 0$ を満たす。
• $N=4$ スーパーマルチプレット（3,4,1）に二重化手続きを適用し、結合定数 $g$ を物理的スカラー場に昇格させることで、非線形的実現のスーパーシンメトリーを生成する。
• 補助場およびラグランジュ乗数を消去した成分作用を導出し、運動項とポテンシャル項がハイパー・ケーラー計量を定義することを示す。
• 得られた計量がギブンズ＝ホーキング形式を取り、$y$ 座標のシフトとして実現される1つの三ホロモーフィック等Isoメトリを有する4次元ハイパー・ケーラー多様体に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非共形的平坦でないハイパー・ケーラー的標的空間を持つ $N=4$ および $N=8$ スーパーシンメトリー・シグマ模型をどのように構築できるか？
• RQ2 非線形なオフシェル・スーパーマルチプレットは、1次元スーパーメカニクスにおける非共形的平坦幾何を実現するために果たす役割は何か？
• RQ3 結合定数の定数性を動的制約として再定式化することで、新しい標的空間幾何を生成できるか？
• RQ4 結合定数を二重化することで、$N=8$ スーパーメカニクスにおいてギブンズ＝ホーキング型計量がどのように出現するか？
• RQ5 得られた非線形スーパーマルチプレットの変換性質は何か？また、それらはオフシェルで定義されるか？

主な発見

• 結合定数 $g$ を動的場として二重化することで、$g(t)$ が物理的スカラーとして現れる新しい作用が得られ、4次元ハイパー・ケーラー的標的空間が得られる。
• 得られたボソン的計量はギブンズ＝ホーキング形式を取り、$ds^2 = F_{,vv}(dv^2 + 4d\varphi d\bar{\varphi}) + \frac{1}{F_{,vv}}(dy - iF_{,v\varphi}d\varphi + iF_{,v\bar{\varphi}}d\bar{\varphi})^2$ と表される。これは1つの三ホロモーフィック等Isoメトリを有する最も一般な4次元ハイパー・ケーラー多様体を記述する。
• この構成により、非線形的実現の $N=4$ スーパーシンメトリーが得られ、スーパーマルチプレットの変換が調和関数 $F$ に非自明に依存する。これによりマルチプレットはオフシェルかつ非線形となる。
• $N=8$ の場合、一般の $N=8$ スーパーシンメトリー・シグマ模型がハイパー・ケーラー的標的空間に対して得られるが、得られたマルチプレットのオフシェル性についてはさらなる検討が必要である。
• 最終作用における運動項は関数 $F$ の2階微分で表され、計量構造は $F_{,vv}$、$F_{,v\varphi}$、$F_{,v\bar{\varphi}}$ によって完全に決定され、ハイパー・ケーラー性が確認される。
• 作用におけるポテンシャル項は、フェルミオン相互作用の完全な非線形構造を符号化しており、$F$ の高階微分を含む係数が含まれる。これにより、非自明なスーパーシンメトリー代数が確認される。