[論文レビュー] Hyperball packings related to octahedron and cube tilings in hyperbolic space

Jenő Szirmai|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2018

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Coxeter単体群{p,3,4}および{p,4,3}によって生成される切断正八面体および立方体のタイル張りから導かれる3次元双曲空間における合同および非合同な超球詰め込みを調査する。射影幾何学と切断単体セルにおける密度最適化を用いて、切断立方体タイル張り{4,3,7}において密度≈0.86145の最も密な局所最適詰め込みを同定し、ボローツキー＝フラウリオ上界を上回るが、これは全体的に拡張可能とはならない。

ABSTRACT

In this paper we study congruent and non-congruent hyperball (hypersphere) packings of the truncated regular octahedron and cube tilings. These are derived from the Coxeter simplex tilings $\{p,3,4\}$ $(7\le p \in \mathbb{N})$ and $\{p,4,3\}$ $(5\le p \in \mathbb{N})$ in $3$-dimensional hyperbolic space $\mathbb{H}^3$. We determine the densest hyperball packing arrangement and its density with congruent and non-congruent hyperballs related to the above tilings in $\mathbb{H}^3$. We prove that the locally densest congruent or non-congruent hyperball configuration belongs to the regular truncated cube with density $\approx 0.86145$. This is larger than the Böröczky-Florian density upper bound for balls and horoballs. Our locally optimal non-congruent hyperball packing configuration cannot be extended to the entire hyperbolic space $\mathbb{H}^3$, but we determine the extendable densest non-congruent hyperball packing arrangement related to a regular cube tiling with density $\approx 0.84931$.

研究の動機と目的

• 3次元双曲空間における切断八面体および立方体タイル張りを用いた超球詰め込みの最も密な配置を特定すること。
• これらのタイル張りにおける合同および非合同な超球詰め込みを分析すること。
• 最大達成可能な密度を計算・比較すること、特にボローツキー＝フラウリオ上界との相関を検討すること。
• 最も密な局所的配置が、双曲空間H³全体に拡張可能かどうかを同定すること。
• 正則な切断立方体および八面体タイル張りに関連する超球詰め込みの密度上界を確立すること。

提案手法

• 符号(1,3)の双線形形式を有するローレンツ空間E1,3における双曲3次元空間H³の射影モデルを用いる。
• 拡張されたCoxeter群{4,3,7}を用いて正則な立方体タイル張りおよび対応する切断立方体セルを生成する。
• H³を切断単体（例：切断立方体）に分割するための分解アルゴリズムを適用し、密度分析に用いる。
• 超球中心の切断セルの幾何的構造に対する相対的位置に基づいて、超球密度δ₁、δ₂、δ₃を定義・計算する。
• 解析的および数値的手法を用いて、連続的パラメータ（例：p ∈ (6,7) または 整数p ≥7）の範囲で密度関数を最適化する。
• 結果を、球およびホロ球詰め込みのボローツキー＝フラウリオ上界（≈0.85328）と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H³における切断立方体および八面体タイル張りにおける合同または非合同な超球詰め込みで達成可能な最大密度は何か？
• RQ2 最も密な局所的超球詰め込み配置は、双曲3次元空間H³全体に拡張可能か？
• RQ3 超球詰め込みの密度は、球およびホロ球のボローツキー＝フラウリオ上界と比べてどうなるか？
• RQ4 超球詰め込み密度を最大化する最適パラメータ（例：p、中心位置）は何か？
• RQ5 正則な立方体タイル張りにおける、拡張可能な非合同な超球詰め込みの最大密度は何か？

主な発見

• 非合同な超球の最も密な局所最適詰め込みは、切断立方体タイル張り{4,3,7}において密度約0.86145に達し、ボローツキー＝フラウリオ上界（≈0.85328）を上回る。
• この最適配置は、非整数範囲(6 < p < 7)におけるp ≈6.26384で発生し、超球中心はx = s(p) − h(p) ≈0.36563に配置される。
• 拡張されたCoxeter群{4,3,7}に従う正則な立方体タイル張りにおける、拡張可能な非合同な超球詰め込みの最大密度は約0.84931である。
• p ≥7の切断八面体タイル張り{p,3,4}においても、最も密な詰め込み密度は約0.86145に達し、p = 7で達成される。
• 密度約0.86145の局所最適超球配置は、古典的上界を上回るが、H³全体に拡張することはできない。
• 合同な超球の最大密度は非合同な場合より低く、後者は幾何的柔軟性のおかげでより高い局所的密度を達成する。