[論文レビュー] Hyperbolic components in spaces of polynomial maps

John Milnor, Alfredo Poirier|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 1992

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、次数$d$の多項式写像の空間における任意の双曲的成分が、一意の後期的有限写像（その成分の中心）を含む位相的セルであることを確立する。本稿では、写像$f$のフル・ジュリア集合の成分上での力学的性質から定義される、縮約写像スキーマ$\bar{S}(f)$を位相的不変量として導入し、双曲的成分を分類する。さらに、同型なスキーマを持つ成分同士は標準的双正則同型であることを証明する。別紙ではPoirierが、任意のこのようなスキーマが、拡張型抽象ハッブードツリー構成によって、後期的有限多項式によって実現可能であることを示している。

ABSTRACT

We consider polynomial maps $f:\C o\C$ of degree $d\ge 2$, or more generally polynomial maps from a finite union of copies of $\C$ to itself which have degree two or more on each copy. In any space $\p^{S}$ of suitably normalized maps of this type, the post-critically bounded maps form a compact subset $\cl^{S}$ called the connectedness locus, and the hyperbolic maps in $\cl^{S}$ form an open set $\hl^{S}$ called the hyperbolic connectedness locus. The various connected components $H_α\subset \hl^{S}$ are called hyperbolic components. It is shown that each hyperbolic component is a topological cell, containing a unique post-critically finite map which is called its center point. These hyperbolic components can be separated into finitely many distinct ``types'', each of which is characterized by a suitable reduced mapping schema $\bar S(f)$. This is a rather crude invariant, which depends only on the topology of $f$ restricted to the complement of the Julia set. Any two components with the same reduced mapping schema are canonically biholomorphic to each other. There are similar statements for real polynomial maps, or for maps with marked critical points.

研究の動機と目的

• 多項式写像空間における双曲的成分を、位相的不変量を用いて分類すること。
• 各双曲的成分が、一意の後期的有限中心写像を含む位相的セルであることを証明すること。
• 同型な縮約写像スキーマを持つ双曲的成分が、標準的双正則同型であることを示すこと。
• 分類を実多項式写像およびマーク付き臨界点を有する写像へ拡張すること。
• 任意の縮約写像スキーマが、抽象ハッブードツリーを用いた構成により、後期的有限多項式によって実現可能であることを証明すること。

提案手法

• 写像$f$のフル・ジュリア集合の成分上での力学的性質から、$\bar{S}(f) = (|\bar{S}|, \bar{F}, \bar{w})$という縮約写像スキーマを定義する。
• 各スキーマ$S$に対して、Blaschke積の標準的モデル空間$B(S)$を構成し、主双曲的成分$H^0_S$を形成する。
• Douady-Hubbardのストレートナイング（手術）を用いて、スキーマ$S$を持つ任意の双曲的成分が、$B(S)$に微分同相であることを示す。この同相は、自己同型群$\bar{G}(S)$を除いて一意である。
• この微分同相が実際に標準的双正則同型であることを証明し、同一スキーマを持つ成分同士のホロモルフィック同値性を確立する。
• 臨界点の間に非臨界頂点を追加することで、$\bar{S}$から非縮約スキーマ$S$を構成する。この非縮約スキーマ$S$は、力学的性質をモデル化する。
• 拡張型抽象ハッブードツリーを用いて非縮約スキーマ$S$を実現し、これにより、$\bar{S}$を実現する後期的有限多項式の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数$d$の多項式写像の空間におけるすべての双曲的成分は、位相的セルであるか？
• RQ2 フル・ジュリア集合上での力学的性質から導かれる位相的不変量によって、双曲的成分の構造を分類できるか？
• RQ3 同一の縮約写像スキーマを持つ双曲的成分同士には、標準的ホロモルフィック同型が存在するか？
• RQ4 任意の抽象的縮約写像スキーマは、後期的有限多項式によって実現可能か？
• RQ5 実多項式写像の形は、双曲的成分の分類とどのように関係するか？

主な発見

• 次数$d$のモニックかつ中心化された多項式の空間における各双曲的成分$H_\alpha$は、位相的セルである。
• 各双曲的成分は、一意の後期的有限写像（その中心点と呼ばれる）を含む。
• 同型な縮約写像スキーマを持つ双曲的成分同士は、互いに標準的双正則同型である。
• 縮約写像スキーマ$\bar{S}(f)$は、双曲的成分を有限個の型に分類する位相的不変量である。
• 任意の縮約スキーマ$\bar{S}$は、拡張型抽象ハッブードツリーの構成により、後期的有限多項式によって実現可能であることが証明された。
• 実多項式写像の場合、$d$が偶数のときには$d/2$個の異なる実形式があり、$d$が奇数のときには$d+1$個ある。これは、実臨界点の数の違いに対応する。