[論文レビュー] Hyperbolic conservation laws on spacetimes. A finite volume scheme based on differential forms

Philippe G. LeFloch, Baver Okutmuştur|ArXiv.org|Oct 1, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、微分形式を用いた時空における双曲型保存則のための新規な有限体積スキームを導入し、フラックスをベクトル場ではなくn-形式場として定式化する。グローバルな双曲性のもとで、幾何学的に自然なL¹型距離において、エンタルピー解の半群の存在を確立し、収縮性を証明する。これは、Kruzkov理論を最小限の幾何的仮定のもとで曲がった多様体へ一般化するものである。

ABSTRACT

We consider nonlinear hyperbolic conservation laws, posed on a differential (n+1)-manifold with boundary referred to as a spacetime, and in which the "flux" is defined as a flux field of n-forms depending on a parameter (the unknown variable). We introduce a formulation of the initial and boundary value problem which is geometric in nature and is more natural than the vector field approach recently developed for Riemannian manifolds. Our main assumption on the manifold and the flux field is a global hyperbolicity condition, which provides a global time-orientation as is standard in Lorentzian geometry and general relativity. Assuming that the manifold admits a foliation by compact slices, we establish the existence of a semi-group of entropy solutions. Moreover, given any two hypersurfaces with one lying in the future of the other, we establish a "contraction" property which compares two entropy solutions, in a (geometrically natural) distance equivalent to the L1 distance. To carry out the proofs, we rely on a new version of the finite volume method, which only requires the knowledge of the given n-volume form structure on the (n+1)-manifold and involves the {\sl total flux} across faces of the elements of the triangulations, only, rather than the product of a numerical flux times the measure of that face.

研究の動機と目的

• 一般の微分多様体上での双曲型保存則の幾何学的に自然な定式化を構築し、リーマン的またはローレンツ的計量に依存しないようにすること。
• 微分形式に基づく新規な有限体積法を用いて、時空上での保存則に対するエンタルピー解の存在を確立すること。
• 幾何学的に内因的な距離（L¹ノルムと同等）において、エンタルピー解の間の収縮性を証明し、一意性と安定性を保証すること。
• リーマン的またはローレンツ的計量を事前に仮定しないで、Kruzkovのエンタルピー解理論を曲がった時空へ一般化すること。
• 計量に依存しないフラックス計算を避けるために、n-体積形式と要素面を貫る全フラックスの知識のみを必要とする、数値的に実装可能なスキームを提供すること。

提案手法

• 保存則を $ d(\rho(u)) = 0 $ として定式化し、未知数 $ u $ に依存するn-形式場（フラックス場）$ \rho(u) $ を用いることで、計量構造に依存しない幾何学的定式化を可能にする。
• テスト形式に対する積分を用いて弱解を定義し、ストークスの定理を用いて、コンpaktoな部分集合の境界を貫る全フラックスが消えることとして保存則を表現する。
• 時空の三角形分割を用いた有限体積スキームを構築し、要素面における $ \rho(u) $ の積分を用いてフラックスを計算する。数値的フラックスと面積測度の積を用いるのではなく、これにより計量依存のフラックス計算を回避する。
• 離散解のヤング測度極限を含む幾何学的に一貫したエンタルピー不等式を導入し、極限におけるエンタルピー散逸を保証する。
• グローバル双曲性条件を用いて時空的向きを定義し、過去と未来を区別することで、適切な定式化と収縮推定を可能にする。
• ヤング測度のコンパクトネスと弱*収束性に依拠し、エンタルピー不等式の極限を取ることで、離散スキームの収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の時空上での双曲型保存則を、リーマン的またはローレンツ的計量を仮定せずに、幾何学的に内因的かつ自然な形でどのように定式化できるか？
• RQ2 n-体積形式と要素面を貫る全フラックスのみに依存する有限体積法を構築できるか？計量依存のフラックス計算を回避できるか？
• RQ3 どのような幾何的条件下で、エンタルピー解の半群が存在し、幾何学的に自然な距離において収縮性を満たすか？
• RQ4 計量を仮定しない状況で、微分形式の構造のみを用いて、有限体積スキームの収束をどのように証明できるか？
• RQ5 Kruzkovのエンタルピー解理論を、微分形式を用いて、曲がった時空へどの程度一般化できるか？

主な発見

• 本稿は、グローバル双曲性条件のもとで、時空上での双曲型保存則に対するエンタルピー解の半群の存在を確立した。
• 幾何学的に自然な距離（L¹ノルムと同等）において、二つのエンタルピー解の間で収縮性が証明され、一意性が保証された。
• メッシュサイズ $ h \to 0 $ の極限において、有限体積スキームはエンタルピー解に収束する。収束はヤング測度の技法とエンタルピー不等式の極限に依拠して証明された。
• スキームはn-体積形式と要素面を貫る全フラックスの知識のみを必要とし、計量仮定なしに一般多様体へ適用可能である。
• スキームの誤差項 $ A^h, B^h, C^h $ は $ h \to 0 $ のとき消える。それぞれの評価は $ |A^h| \leq C'' \frac{\tau_{\text{max}} + h}{(\tau_{\text{min}})^{1/2}} $ および $ |B^h| \leq C \frac{( au_{\text{max}} + h)^2}{h} $ であり、両方とも0に収束する。
• 微分形式による定式化は、ベクトル場アプローチに比べてより単純かつ一般性が高く、リーマン的およびローレンツ的設定における先行研究を統合・拡張する枠組みを提供する。