[論文レビュー] Hyperbolic Cross Approximation

Ðinh Dũng, Vladimir Temlyakov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2016

Mathematical Approximation and Integration被引用数 25

ひとこと要約

本調査は、混合滑らかさをもつ関数に注目し、多変数近似理論における双曲的クロス近似の包括的概要を提供する。高次元近似の古典的および現代的手法を提示し、スパースグリッド法、サンプリング回復、数値積分における双曲的クロスの役割に焦点を当てる。収束速度、エントロピー数、高次元における非線形近似に関する主要な貢献を含む。

ABSTRACT

Hyperbolic cross approximation is a special type of multivariate approximation. Recently, driven by applications in engineering, biology, medicine and other areas of science new challenging problems have appeared. The common feature of these problems is high dimensions. We present here a survey on classical methods developed in multivariate approximation theory, which are known to work very well for moderate dimensions and which have potential for applications in really high dimensions. The theory of hyperbolic cross approximation and related theory of functions with mixed smoothness are under detailed study for more than 50 years. It is now well understood that this theory is important both for theoretical study and for practical applications. It is also understood that both theoretical analysis and construction of practical algorithms are very difficult problems. This explains why many fundamental problems in this area are still unsolved. Only a few survey papers and monographs on the topic are published. This and recently discovered deep connections between the hyperbolic cross approximation (and related sparse grids) and other areas of mathematics such as probability, discrepancy, and numerical integration motivated us to write this survey. We try to put emphases on the development of ideas and methods rather than list all the known results in the area. We formulate many problems, which, to our knowledge, are open problems. We also include some very recent results on the topic, which sometimes highlight new interesting directions of research. We hope that this survey will stimulate further active research in this fascinating and challenging area of approximation theory and numerical analysis.

研究の動機と目的

• 高次元問題に不可欠な混合滑らかさをもつ関数クラスと双曲的クロス近似を統合的かつ詳細に調査すること。
• 次元の呪いによって古典的手法が失敗する状況における、多変数近似の理論的基盤と実用的アルゴリズムを明確にすること。
• 双曲的クロス近似が不等分散理論、数値積分、スパース回復と結びつく未解決問題と最近の進展を強調すること。
• 特に混合微分作用素の固有関数の文脈において、双曲的クロスが1変数三角多項式の自然な多変数アナログである役割を強調すること。
• 高次元近似と非線形手法における新たな研究方向を特定し、未解決問題を提示することで、さらなる研究を促進すること。

提案手法

• 多変数三角多項式の周波数集合として、双曲的クロス Γ(N) = {k ∈ ℤ^d : ∏ⱼ max{|kⱼ|,1} ≤ N} を用い、1変数三角近似を一般化する。
• フーリエ解析とリトルウッド＝ペイリー理論を用いて、関数を周波数ブロック ρ(s) に分解し、dyadic 分解による ℓ² および ℓᵖ ノルム推定を可能にする。
• リーツ＝トールン補間定理とマルチニェフチーズ乗数定理を用いて、L_p 空間上での作用素の有界性を導出する。
• 双曲的クロス近似の線形幅、コルモゴロフ幅、エントロピー数を、関数空間における双曲的クロス近似の双対性と埋め込み定理を用いて分析する。
• スモリャクグリッド上のサンプリング回復を導入し、離散的リトルウッド＝ペイリー表現を用いて点評価からの関数回復を実現する。
• ハーディ＝リトルウッド＝ソボレフ不等式とフロロフ型立方則を適用し、高次元における数値積分の境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的クロス近似は、高次元関数における収束速度の観点から、古典的手法（テンソル積やスパースグリッド法）と比べてどのように異なるか？
• RQ2 L_q 空間における混合滑らかさをもつ関数クラスのコルモゴロフ幅および線形幅の最適境界は何か？
• RQ3 混合滑らかさをもつ関数クラスのエントロピー数はどのように振る舞い、サム・ボール問題とどのような関係があるか？
• RQ4 スモリャクグリッド上のサンプリング回復は、L_p 範囲およびエネルギーノルムで最適収束速度を達成できるか？
• RQ5 双曲的クロス近似フレームワークは、非線形 m 項近似およびグリーディアルゴリズムにどのような意味を持つのか？

主な発見

• 双曲的クロス多項式は、混合微分作用素の固有関数として生じるため、1変数三角多項式の自然な多変数アナログである。
• ハウスドルフ＝ヤング不等式により、フーリエ係数の L_p ノルムの境界が得られ、最適定数は次元と p に依存する。
• リトルウッド＝ペイリー定理により、L_p ノルムと周波数ブロック δ_s(f) の平方関数との同値性が保証され、定数は d と p のみに依存する。
• L_q における関数クラス W および H のエントロピー数は、双曲的クロスのサイズを含むエントロピー推定を用いて境界づけられ、次元に対して対数的依存性を示す。
• スモリャクグリッド上のサンプリング回復は、L_p 範囲およびエネルギーノルムで最適収束速度を達成し、滑らかさと次元に依存する境界を持つ。
• フロロフ型立方則は、高次元における数値積分で最適の収束順序を達成し、誤差境界は不均一性と混合滑らかさに関連する。