[論文レビュー] Hyperbolic manifolds that fiber algebraically up to dimension 8

Giovanni Italiano, Bruno Martelli+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$5 \leq n \leq 8$ の場合について、最初の双曲的 $n$-多様体 $M^n$ を構成した。この多様体は、$π_1(M^n) \to \mathbb{Z}$ への全射な準同型 $π_1(M^n) \to \mathbb{Z}$ を持ち、その核が有限生成である。次に、次元 7 および 8 において、核が有限表示可能であることを示し、双曲的 $n$-多様体で、基本群が有限表示可能だが、$b_{n-1}$ が無限大である例を初めて得た。この多様体は、最大ランクのカスプを無限個持つ被覆を介して得られ、$b_{n-1}$ が無限大となる。

ABSTRACT

We construct some cusped finite-volume hyperbolic $n$-manifolds $M_n$ that fiber algebraically in all the dimensions $5\leq n \leq 8$. That is, there is a surjective homomorphism $π_1(M_n) o \mathbb Z$ with finitely generated kernel. The kernel is also finitely presented in the dimensions $n=7, 8$, and this leads to the first examples of hyperbolic $n$-manifolds $\widetilde M_n$ whose fundamental group is finitely presented but not of finite type. These $n$-manifolds $\widetilde M_n$ have infinitely many cusps of maximal rank and hence infinite Betti number $b_{n-1}$. They cover the finite-volume manifold $M_n$. We obtain these examples by assigning some appropriate colours and states to a family of right-angled hyperbolic polytopes $P_5, \ldots, P_8$, and then applying some arguments of Jankiewicz, Norin, Wise and Bestvina, Brady. We exploit in an essential way the remarkable properties of the Gosset polytopes dual to $P_n$, and the algebra of integral octonions for the crucial dimensions $n=7,8$.

研究の動機と目的

• 次元 $5 \leq n \leq 8$ の、有限体積を持つ双曲的 $n$-多様体 $M^n$ を構成し、$π_1(M^n) \to \mathbb{Z}$ への全射な準同型を介して $S^1$ に代数的にファイバーさせること。核は有限生成とする。
• 次元 7 および 8 において、この準同型の核が有限表示可能であることを示し、基本群が有限提示可能だが $b_{n-1}$ が無限大である双曲的多様体の新しい例を構成すること。
• これらの多様体が有限体積の双曲的 $n$-多様体の被覆であり、最大ランクのトーラス的カスプを無限個持つこと、したがって $b_{n-1}$ が無限大であることの証明。
• 次元 7 および 8 において、右角双曲的多面体 $P^n$ とゴスェット多面体の双対性、および整数オクタニオンの代数を用いて、対称的な彩色と状態を構成すること。

提案手法

• 右角双曲的多面体 $P^n \subset \mathbb{H}^n$ のコピーを、その面の対称的彩色を用いて組み合わせて $M^n$ を構成する。
• 状態（面を「In」と「Out」に分割するもの）を用いて、対角写像 $f: M^n \to S^1$ を定義し、$f_*: \pi_1(M^n) \to \mathbb{Z}$ を誘導する。
• ベストヴィナ–ブレイドの組合せ的モース関数理論を用いて、$f_*$ の核を解析し、特にその有限生成性および有限提示可能性を調べる。
• 次元 7 および 8 において、$P^n$ とゴスェット多面体（例：$n=8$ の場合の $4_{21}$）の双対性と、整数オクタニオンの代数を活用し、高い対称性を持つ彩色と状態を定義する。
• 彩色から得られる軌道複体の連結性および単連結性を用いて、次元 7 および 8 において核が有限提示可能であることを検証する。
• 写像 $f$ をカスプに制限し、すべての次元 $n=5,\dots,8$ において、少なくとも一つのカスプにおいて $f$ の制限がホモトピー的にゼロであることを示し、被覆において無限個の上への持ち上げが存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $5 \leq n \leq 8$ において、双曲的 $n$-多様体が、核が有限生成であるような $S^1$ への代数的ファイバー構造を持つことができるか？
• RQ2 このような多様体が、次元 7 および 8 において、基本群が有限提示可能だが $b_{n-1}$ が無限大である例として存在するか？
• RQ3 次元 7 および 8 において、ゴスェット多面体に双対な右角双曲的多面体の対称的彩色と、整数オクタニオンを用いて、この構成を実現できるか？
• RQ4 カスプへの制限がホモトピー的にゼロでない場合、このようなファイバー構造を達成することは可能か、それとも高次元ではトポロジー的障害が存在するか？
• RQ5 無限被覆 $\widetilde{M}^n = \mathbb{H}^n / \ker f_*$ の正確な位相的およびホモロジー的構造は何か？特に、ベッチ数とカスプ構造に関して。

主な発見

• すべての $5 \leq n \leq 8$ に対して、有限体積の双曲的 $n$-多様体 $M^n$ と写像 $f: M^n \to S^1$ が存在し、$f_*: \pi_1(M^n) \to \mathbb{Z}$ は全射であり、核は有限生成である。
• 次元 $n=7$ および $n=8$ において、$f_*$ の核は有限提示可能であり、$\widetilde{M}^n = \mathbb{H}^n / \ker f_*$ は、基本群が有限提示可能だが $b_{n-1}$ が無限大である双曲的 $n$-多様体である。
• 被覆 $\widetilde{M}^n$ は最大ランクのトーラス的カスプを無限個持つため、$b_{n-1}(\widetilde{M}^n) = \infty$ であり、$\pi_1(\widetilde{M}^n)$ は型 $\mathrm{F}_{n-1}$ ではない。
• $M^8$ のオイラー標数は $278528$ であり、$65280$ 個のカスプを持つ。ベッチ数は $b_1 = 365$、$b_2 = 33670$、$b_3 = 583290$、$b_4 = 1783226$、$b_5 = 1346030$、$b_6 = 456595$、$b_7 = 65279$、$b_8 = 0$ である。
• すべての次元 $n=5,\dots,8$ において、$f$ の少なくとも一つのカスプへの制限がホモトピー的にゼロであるため、被覆 $\widetilde{M}^n$ において無限個の上への持ち上げが存在し、幾何的に無限大である。
• $M^n$ の基本群は $\mathrm{O}(n,1,\mathbb{Z})$ の有限指数部分群であり、$n=7,8$ の場合、核 $\ker f_*$ は $\mathrm{O}(n,1,\mathbb{Z})$ の有限提示可能な部分群であり、$b_{n-1}$ が無限大である。これは、$\mathrm{F}_2$ ではあるが $\mathrm{F}_{n-1}$ ではないことを示している。