[論文レビュー] Hyperbolic manifolds whose envelopes of holomorphy are not hyperbolic

Laura Geatti, Andrea Iannuzzi+1 more|ArXiv.org|Dec 7, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、対称空間 $SU(1,1)/U(1)$ の複素化 $SL(2,Χ)/U(1)^\mathbb{C}$ 内の $SU(1,1)$-不変な領域である、2次元のコバヤシ双曲的複素多様体 $D_\beta$ の族を構成する。これらは双曲的であるが、その正則包が $Δ \times \mathbb{C}$ に正則同型であることが示され、これは双曲的でない。したがって、双曲的多様体の正則包が双曲的でないという期待とは反して、明示的な反例が得られる。

ABSTRACT

We present a family of examples of two dimensional, hyperbolic complex manifolds whose envelopes of holomorphy are not hyperbolic.

研究の動機と目的

• 2次元のコバヤシ双曲的複素多様体で、その正則包が双曲的でないような具体例を構成すること。
• リー群の複素化を用いて、これらの多様体の正則構造および自己同型群の不変量を分析すること。
• $G$-不変領域 $D_\beta$ の正則包を、複素対称空間 $G^\mathbb{C}/K^\mathbb{C}$ 内で特定すること。
• このような双曲的領域の正則包が、ステインであるが双曲的でないことを示し、具体的には $\Delta \times \mathbb{C}$ に正則同型であることを示すこと。

提案手法

• $G = SU(1,1)$ とおくとき、$D_\beta$ を複素化 $G^\mathbb{C}/K^\mathbb{C} \cong SL(2,\mathbb{C})/U(1)^\mathbb{C}$ 内の $G$-不変部分集合として実現する。
• $G^\mathbb{C} = SL(2,\mathbb{C})$ が $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上に作用する正則作用を用いる：$g \cdot ([z_1:z_2], [w_1:w_2]) = (g \cdot [z_1:z_2], \overline{\sigma(g)} \cdot [w_1:w_2])$、ここで $\sigma(g) = I_{1,1} \,^t\bar{g}^{-1} I_{1,1}$。
• $0 < \beta < \infty$ に対して、$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 内の明示的なパラメータ化された曲線 $\ell_1, \ell_2, \ell_3, \ell_4$ を用いて、$D_\beta = G \cdot (z_1 \cup \ell_1((0,1)) \cup w_1 \cup \ell_2((0,\beta)))$ を定義する。
• 極限領域 $W = G \cdot (z_1 \cup \ell_1(0,1) \cup w_1 \cup \ell_2(0,\infty))$ を構成し、写像 $(u,v) \mapsto ([1:u], [1+uv:v])$ を用いて $W$ が $\Delta \times \mathbb{C}$ に正則同型であることを示す。
• 文献[1]における等変リーマン被覆域理論を適用し、$D_\beta$ の正則包が、それらを含む最小の $G$-不変ステイン領域であることを示し、それは $W$ である。
• 文献[1]の定理7.5における、$E(D_\beta) \to G^\mathbb{C}/K^\mathbb{C}$ の正則被覆写像 $p$ の単射性を用いて、$E(D_\beta) \cong W$ を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元のコバヤシ双曲的複素多様体で、その正則包が双曲的でないようなものが存在しうるか？
• RQ2 $G$-不変領域の正則包の構造は、ランク1の対称空間の複素化においてどのように特定されるか？
• RQ3 $D_\beta$ の正則的および幾何的性質は、非双曲的正則包 $W \cong \Delta \times \mathbb{C}$ とどのように関係しているか？
• RQ4 自己同型群と $G$-不変性は、$G^\mathbb{C}/K^\mathbb{C}$ 内の領域の正則包にどの程度制限を加えるか？

主な発見

• $D_\beta$ はすべての $0 < \beta < \infty$ に対して双曲的である。これは、3次元自己同型群をもつ2次元双曲的多様体のイサエフ分類の要素と同型であるため。
• $D_\beta$ の正則包は領域 $W$ であり、これは $\Delta \times \mathbb{C}$ に正則同型である。
• $W$ はステインであるが、$\mathbb{C}$-因子のおかげで双曲的でない。
• $W$ は、$D_\beta$ を含む $G^\mathbb{C}/K^\mathbb{C}$ 内の最小の $G$-不変ステイン領域であり、すべての $\beta < \infty$ の $D_\beta$ を含む。
• $W$ は明示的に $\{([1:z],[w_1:w_2]) \in \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 : z \in \Delta, \, w_1 - z w_2 \neq 0\}$ として実現され、これにより $W$ が $\Delta \times \mathbb{C}$ に正則同型であることが確認される。