[論文レビュー] Hyperbolic metrics, measured foliations and pants decompositions for non-orientable surfaces

Athanase Papadopoulos, Robert Penner|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、非可換な曲面におけるFenchel-Nielsen、Dehn-Thurston、Hatcher-Thurstonの定理の類似を確立し、1価曲線のねじれ数を含まない修正されたFenchel-Nielsen座標を導入し、1価曲線のねじれを省いたDehn-Thurston座標に適応し、1価曲線に対応するための2つの新しい移動をHatcher-Thurstonの移動集合に拡張する。主な貢献は、Teichmüller空間および測度付き foliation の完全かつ最小のパrametrizationであり、コンpact化されたTeichmüller空間を、コンパクトなsupporthをもつ射影的測度付きfoliationのpiecewise-linear球面によって実現する。

ABSTRACT

We provide analogues for non-orientable surfaces with or without boundary or punctures of several basic theorems in the setting of the Thurston theory of surfaces which were developed so far only in the case of orientable surfaces. Namely, we provide natural analogues for non-orientable surfaces of the Fenchel-Nielsen theorem on the parametrization of the Teichm\\"uller space of the surface, the Dehn-Thurston theorem on the parametrization of measured foliations in the surface, and the Hatcher-Thurston theorem, which gives a complete minimal set of moves between pair of pants decompositions of the surface. For the former two theorems, one in effect drops the twisting number for any curve in a pants decomposition which is 1-sided, and for the latter, new elementary moves on pants decompositions are introduced.

研究の動機と目的

• Teichmüller理論の基礎的定理を、これまで可換な曲面でのみ有効であったものを、非可換な曲面へ拡張すること。
• 文献において、非可換曲面のTeichmüller空間および測度付きfoliationの体系的パrametrizationが欠落している問題を解決すること。
• 1価曲線のねじれパrameterを省いた一般化されたFenchel-Nielsen定理を導入すること。
• 1価曲線のねじれ数を省いた一般化されたDehn-Thurston定理を提供すること。
• 非可換曲面のパンツ分解の集合が、基本的な移動によって接続されることを保証するため、Hatcher-Thurstonの移動集合に2つの新しい移動を追加すること。

提案手法

• 非可換曲面のパンツ分解において、2価曲線のハイパーオリック長とねじれ数のみを用いることで、Fenchel-Nielsen座標を適応する。
• 曲線の向きと基準点に依存する新しいねじれ数の定義を導入し、可換な場合の一般化を行う。
• 1価曲線または穴を表す曲線に対して、交差数とねじれ数を省いたDehn-Thurstonパrametrizationを修正する。
• Hatcher-Thurstonの移動集合に2つの新しい基本的移動を追加する：1つは1価曲線を別の1価曲線に置き換える移動、もう1つは2つの1価曲線を2価曲線に置き換える移動またはその逆。
• コンパクトなsupporthをもつ射影的測度付きfoliationのpiecewise-linear球面を用いて、Teichmüller空間のcompactificationを構成する。
• 境界点付近の局所チャートとして等距離foliationを用い、測度付きfoliationとパンツ分解に直交するfoliationの空間の部分集合との間のホメオモーフィズムを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1価曲線のねじれ数が存在しない状況において、Fenchel-Nielsen定理を非可換曲面へどのように一般化できるか？
• RQ2 非可換曲面上の測度付きfoliationの正しいパrametrizationは何か？また、可換な場合のDehn-Thurston定理とはどのように異なるか？
• RQ3 古典的なHatcher-Thurston移動に加えて、非可換曲面のパンツ分解の集合が、基本的移動によって接続されることを保証するために、どのような追加の移動が必要か？
• RQ4 非可換曲面のTeichmüller空間のThurston境界はどのように実現されるか？また、コンパクトなsupporthをもつ射影的測度付きfoliationの空間の位相的構造は何か？
• RQ5 非可換曲面のTeichmüller空間をcompactifyする球の次元は何か？また、パンツ分解における1価曲線と2価曲線の数にどのように依存するか？

主な発見

• 一般化されたFenchel-Nielsen定理は、パンツ分解に含まれる曲線のハイパーオリック長と2価曲線のねじれ数のみを用いて、非可換曲面のTeichmüller空間をパラメータ化する。1価曲線についてはねじれを省略する。
• 一般化されたDehn-Thurston定理は、交差数とねじれ数を用いて測度付きfoliationをパラメータ化するが、1価曲線および穴を表す曲線に対しては両方を省略する。
• 一般化されたHatcher-Thurston定理は、古典的な2つの移動に加え、2つの新しい基本的移動を追加し、非可換曲面のすべてのパンツ分解の集合がこれらの移動によって接続されることを保証する。
• 非可換曲面のTeichmüller空間のThurston境界は、次元 $\#{\mathcal{P}}_1 + 2\#{\mathcal{P}}_2 - 1$ のpiecewise-linear球面として実現され、ここで $\#{\mathcal{P}}_1$ と $\#{\mathcal{P}}_2$ はパンツ分解における1価曲線と2価曲線の数である。
• コンパクトなsupporthをもつ射影的測度付きfoliationの空間、すなわち $\mathcal{PF}_0(S)$ は、閉じたpiecewise-linear球をなす。この球はTeichmüller空間を閉じた球にcompactifyし、写像類群はこの境界上で連続に作用する。