[論文レビュー] Hyperbolic nature of uniformly rotating systems and their relation to gravity

B. H. Lavenda|ArXiv.org|Apr 10, 2008

Geomagnetism and Paleomagnetism Studies参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一様に回転する参照系が自然に一定の負の曲率を持つ双曲幾何を示すことを提案し、特殊相対性理論および一般相対性理論をロバチェフスキー（双曲）空間と結びつける。空間定数 κ を用いた双曲的計量を用いて時空をモデル化することで、ローレンツ収縮や角欠損といった相対論的効果を幾何学的に導出し、平行線の角度が質量を導入せずに相対論的歪みを説明できることを示す。主な結果として、物理的空間はユークリッド的または球面的ではなく、根本的に双曲的である可能性があり、重力および宇宙論に影響を与える。

ABSTRACT

Special relativity corresponds to hyperbolic geometry at constant velocity while the so-called general relativity corresponds to hyperbolic geometry of uniformly accelerated systems. Generalized expressions for angular momentum, centrifugal and Coriolis forces are found in hyperbolic space, which reduce to the usual expressions of Euclidean space when the absolute constant tends to infinity. Gravity enters only in the specification of the absolute constant. A uniformly rotating disc corresponds exactly to hyperbolic geometry with a constant negative Gaussian curvature. The angle defect is related to Lorentz contraction of objects normal to the radial direction. Lobachevsky's angle of parallelism accounts for the apparent relativistic distortion of moving objects and would provide a testing ground to measure a positive defect by replacing large distances by high speeds that are comparable with that of light.

研究の動機と目的

• リーマン的曲率ではなく、双曲的（ロバチェフスキー的）幾何に基づいて特殊相対性理論および一般相対性理論の幾何的基盤を確立すること。
• 時間の遅れ、長さの収縮、外見上の物体の歪みといった相対論的効果を、運動論的効果としてではなく、双曲的幾何の結果として説明すること。
• 一般相対性理論における標準的解釈に疑問を呈するため、真空条件 R_ij = 0 が時空幾何を一意に決定しないことを示すこと。
• 光速に関連する空間定数 κ が双曲的幾何を定義し、観測された相対論的歪みの背後に位置することを提唱すること。
• シュバルツシルト内部解が、開かれた双曲的宇宙に期待される無限体積とは矛盾する形で有限体積を生じることを示し、標準モデルにおける物理的不整合を示唆すること。

提案手法

• 空間定数 κ を用いた双曲的計量を用いて一様に回転する系をモデル化し、屈折率に類似した要因を用いて修正されたユークリッド的弧長から線素を導出する。
• ベルトラミ座標を用いて双曲的弧長微分を表現し、平行線の角度を介して対数的交比とドップラーシフトを関連付ける。
• 計量を極座標に変換し、径方向および角度成分が r/κ の比に依存することを示し、径方向成分が双曲的挙動を示すことを明らかにする。
• 双曲的計量から測地線方程式を導出し、ユークリッド的速さと c の比が平行線の角度の余弦に一致することを示す。
• 双曲的計量とシュバルツシルト解を比較し、標準的な内部解が r→κ のとき有限体積を生じることを示し、双曲的空間で期待される無限体積とは矛盾することを明らかにする。
• 半測地座標 (r, σ) を用いて不変な双曲的線素を表現し、r = κ tanh⁻¹(𝐫/κ) がユークリッド的半径を双曲的距離に写像することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間の遅れや長さの収縮といった相対論的効果を、双曲的空間における角欠損として幾何学的に解釈できるか？
• RQ2 一様に回転するディスクが自然に一定の負の曲率を持つ双曲的幾何を生じるか？
• RQ3 双曲的幾何における平行線の角度が、運動する物体の相対論的歪みと等価であるか？
• RQ4 一般相対性理論における標準的真空条件 R_ij = 0 が、双曲的モデルに適用された場合、時空幾何を一意に決定しないのか？
• RQ5 シュバルツシルト内部解が、真に開かれた双曲的宇宙に期待される無限体積とは矛盾し、その物理的解釈に欠陥があると示唆するか？

主な発見

• 一様に回転するディスクは、一定の負のガウス曲率を持つ双曲的幾何と正確に一致し、半径 r はユークリッド的半径 𝐫 に対して r = κ tanh⁻¹(𝐫/κ) で関係づけられる。
• 回転ディスクの周囲長は、接線方向のローレンツ収縮のため 2π𝐫 よりも長くなるため、ユークリッド空間よりも大きな周囲長を持つ双曲的幾何を示す。
• ロバチェフスキー幾何における平行線の角度が、運動する物体の外見上の相対論的歪みを説明でき、角欠損が相対論的ドップラーシフトと一致する。
• 双曲的計量は、半径 r が無限に増大する際、双曲的球体に対して無限体積を生じるが、これはシュバルツシルト内部解が予測する有限体積とは対照的である。
• 双曲的モデルにおいて、質量や計量パラメータにかかわらず、条件 R_ij − ½Rg_ij = 0 が恒等的に消えるため、真空アインシュタイン方程式が幾何を一意に決定しないことを示唆する。
• シュバルツシルト内部解は、𝐫→κ のとき最大体積 π²κ³ を生じるが、これは真に開かれた双曲的宇宙に期待される無限体積とは矛盾しており、モデルに物理的不整合があることを示唆する。