[論文レビュー] Hyperbolic $p$-sum and Horospherical $p$-Brunn-Minkowski theory in hyperbolic space

Haizhong Li, Botong Xu|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2022

Point processes and geometric inequalities被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、双曲空間 H^{n+1} における双曲的 p-和を導入し、滑らかで水平超曲面的凸な領域に対して、新しい水平超曲面的 p-ブランヌイ・ミンコフスキー理論を確立する。新たなミンコフスキー型和を定義し、修正された準体積積分の変動を分析することで、測度が偶関数である場合、すべての p ∈ (−∞, +∞) に対して水平超曲面的 p-ミンコフスキー問題を解き、適切な仮定の下で p ∈ (−n, +∞) に対して水平超曲面的 p-クリスティオフェル・ミンコフスキー問題を解き、双曲的設定における主要なブランヌイ・ミンコフスキーおよびミンコフスキーの不等式を証明する。

ABSTRACT

The classical Brunn-Minkowski theory studies the geometry of convex bodies in Euclidean space by use of the Minkowski sum. It originated from H. Brunn's thesis in 1887 and H. Minkowski's paper in 1903. Because there is no universally acknowledged definition of the sum of two sets in hyperbolic space, there has been no Brunn-Minkowski theory in hyperbolic space since 1903. In this paper, for any $p>0$ we introduce a sum of two sets in hyperbolic space, and we call it the hyperbolic $p$-sum. Then we develop a Brunn-Minkowski theory in the hyperbolic space by use of our hyperbolic $p$-sum, and we call it the horospherical $p$-Brunn-Minkowski theory. Let $K$ be any smooth horospherically convex bounded domain in the hyperbolic space $\mathbb{H}^{n+1}$. Through calculating the variation of the $k$-th modified quermassintegral of $K$ by use of our hyperbolic $p$-sum, we introduce the horospherical $k$-th $p$-surface area measure associated with $K$ on the unit sphere $\mathbb{S}^n$. For $k=0$, we introduce the horospherical $p$-Minkowski problem, which is the prescribed horospherical $p$-surface area measure problem. Through designing and studying a new volume preserving flow, we solve the existence of solutions to the horospherical $p$-Minkowski problem for all $p \in (-\infty,+\infty)$ when the given measure is even. For $1 \leq k \leq n-1$, we introduce the horospherical $p$-Christoffel-Minkowski problem, which is the prescribed horospherical $k$-th $p$-surface area measure problem. We solve the existence of solutions to the horospherical $p$-Christoffel-Minkowski problem for $p\in(-n, +\infty)$ under appropriate assumption on the given measure. We also study the Brunn-Minkowski inequalities and the Minkowski inequalities for domains in the hyperbolic space.

研究の動機と目的

• 非ユークリッド幾何学のため、標準的なミンコフスキー和を有しない双曲空間におけるブランヌイ・ミンコフスキー理論を確立すること。
• 水平超曲面的凸性とミンコフスキーノルムの性質を用いて、H^{n+1} 内の集合に対して新しい幾何的和、すなわち双曲的 p-和を定義すること。
• 与えられた測度が偶関数である場合、すべての p ∈ (−∞, +∞) に対して水平超曲面的 p-ミンコフスキー問題を定式化し、解くこと。
• 1 ≤ k ≤ n−1 および p ∈ (−n, +∞) の場合に、適切な測度条件の下で理論を水平超曲面的 p-クリスティオフェル・ミンコフスキー問題へ拡張すること。
• 水平超曲面的凸な領域に対して、双曲的 p-ブランヌイ・ミンコフスキーおよび p-ミンコフスキーの不等式を導出し、証明すること。

提案手法

• 双曲空間の双曲面モデルを用い、未来時空的ベクトルとミンコフスキーノルム N を用いて、H^{n+1} 内のミンコフスキー型構成による双曲的 p-和を導入する。
• 双曲的 p-和の下での第 k 項修正準体積積分の変動を用いて、水平超曲面的 k-番目の p-表面積測度を定義する。
• 水平超曲面的 p-ミンコフスキー問題の解の存在を示すために、体積保存型曲率流れを構成する。
• 1 ≤ p ≤ 2 の場合に、未来時空的ベクトル上でミンコフスキーノルム N が凹であることを利用して、光錐の凸性を用いて主要な不等式を証明する。
• AM-GM 不等式と双曲距離に関する幾何的恒等式を用いて、重み付き体積の積分公式を導出する。
• 双曲的 p-ブランヌイ・ミンコフスキー不等式を、測地線球の半径と双曲的 p-和における半径の p 組み合わせを比較することで確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲空間において、一貫性のあるミンコフスキー型和を定義し、ブランヌイ・ミンコフスキー理論を支えることは可能か？
• RQ2 与えられた測度が偶関数である場合、すべての p ∈ (−∞, +∞) に対して水平超曲面的 p-ミンコフスキー問題は解をもつか？
• RQ3 水平超曲面的 p-クリスティオフェル・ミンコフスキー問題が、p ∈ (−n, +∞) に対して解をもつための条件は何か？
• RQ4 p-設定における古典的ブランヌイ・ミンコフスキーおよびミンコフスキーの不等式の双曲的類似は何か？
• RQ5 双曲的 p-ブランヌイ・ミンコフスキー予想における原点対称性の仮定は、取り除けるか？

主な発見

• 与えられた測度が偶関数である場合、体積保存型曲率流れを用いて、すべての p ∈ (−∞, +∞) に対して水平超曲面的 p-ミンコフスキー問題が解かれる。
• 与えられた測度に適切な仮定を課すと、p ∈ (−n, +∞) に対して水平超曲面的 p-クリスティオフェル・ミンコフスキー問題が解かれ、古典的クリスティオフェル・ミンコフスキー問題が双曲空間へ拡張される。
• 水平超曲面的凸な領域に対して、双曲的 p-ブランヌイ・ミンコフスキー不等式が成り立ち、等号が成り立つのは、2つの領域が水平超曲面的に合同である場合に限る。
• 1 ≤ p ≤ 2 の場合、ミンコフスキーノルム N は未来時空的ベクトル上で凹であり、これは光錐の凸性を用いて p-ブランヌイ・ミンコフスキー不等式を証明するのにも用いられる。
• 双曲距離に関する積分恒等式を用いて、原点を中心としない測地線球の重み付き体積が導出され、p-和構成の非自明性が確認される。
• 反例により、双曲的 p-ブランヌイ・ミンコフスキー予想における原点対称性の仮定は取り除けないことが示され、中心が原点から離れていると不等式が成り立たないことが判明する。