[論文レビュー] Hyperbolic polynomials and the Dirichlet problem

F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、Gårdingの双曲的多項式理論の自己完結的かつ包括的な記述を提示し、固有値関数の実解析的配置を確立するとともに、PDE理論に不可欠な単調性性質を証明する。Gårding理論が完全非線形PDEの部分方程式を自然に生成することを示し、$(p,E)$-擬凸領域上でのDirichlet問題に対して一意な連続解が存在することを保証する。

ABSTRACT

This paper presents a simple, self-contained account of Garding's theory of hyperbolic polynomials, including a recent convexity result of Bauschke-Guler-Lewis-Sendov and an inequality of Gurvits. This account also contains new results, such as the existence of a real analytic arrangement of the eigenvalue functions. In a second, independent part of the paper, the relationship of Garding's theory to the authors' recent work (arXiv:0710.3991) on the Dirichlet problem for fully nonlinear partial differential equations is investigated. Let p be a homogeneous polynomial of degree m on S^2(R^n) which is hyperbolic with respect to the all positive directions A \geq 0. Then p has an associated eigenvalue map lambda:S^2(R^n) o R^m, defined modulo the permutation group acting on R^m. Consequently, each closed symmetric set E of R^m induces a second-order p.d.e. by requiring, for a C^2-function u in n-variables, that (D^2 u)(x) lie in the boundary of E for all x. Assume that E + (R_+)^m is contained in E. A main result is that for smooth domains in R^n whose boundary is suitably (p,E)-pseudo-convex, the Dirichlet problem has a unique continuous solution for all continuous boundary data. This applies to a vast collection of examples the most basic of which are the m distinct branches of the equation p(D^2 u) =0. In the authors' recent extension of results from euclidean domains to domains in riemannian manifolds (arXiv:0907.1981), a new global ingredient, called a monotonicity subequation, was introduced. It is shown in this paper that for every polynomial $p$ as above, the associated Garding cone is a monotonicity cone for all branches of the the equation p(Hess u) = 0 where Hess u denotes the riemannian Hessian of u.

研究の動機と目的

• 双曲的多項式のGårding理論を、固有値解析性に関する新規結果を用いて、自己完備的かつ初等的な記述を提供すること。
• Gårding錐内での要素の加法に対して、固有値関数の単調性を確立すること。これはPDEへの応用にとって不可欠である。
• Gårding理論を部分方程式を通じて、完全非線形2階PDEのDirichlet問題に結びつけること。
• Riemann多様体上での方程式 $p(\mathrm{Hess}\,u) = 0$ に対して、Gårding錐が単調性錐として機能することを示すこと。
• Gurvitsの不等式を、Gårdingの基本不等式の改良として、反復的微分と容量に基づく評価を用いて導出すること。

提案手法

• Gårding錐内での要素による平行移動の下で、双曲的多項式の固有値が実解析的パラメータ表示をもつことを示す新定理（定理2.9）を導入する。
• 代数曲線の古典的均一化パラメータ定理を用いて、固有値関数の解析性および厳密単調性を確立する。
• Bauschke-Guler-Lewis-Sendovの凸性結果を応用し、Gårding錐が凸集合としての主要な性質を導出する。
• 閉じた対称集合 $E \subset \mathbb{R}^m$ を用いて、固有値写像 $\lambda: \mathrm{Sym}^2(\mathbb{R}^n) \to \mathbb{R}^m$ を介して部分方程式を構成し、$\lambda(D^2u) \in \partial E$ という形のPDEを導く。
• 固有値の単調性を活用して、$P > 0$ のとき $F + P \subset F$ である正の条件を検証し、部分方程式構造を保証する。
• 方向微分の反復的適用と容量に基づく評価を用いて、Gurvitsの不等式を証明し、Gårdingの元来の不等式を改良する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gårding錐内での要素による平行移動の下で、双曲的多項式の固有値関数は、全空間で実解析的関数として一意に配置可能か？
• RQ2 正定値行列の加法に対する固有値の単調性は、Gårding錐全体にまで拡張可能であり、非線形PDEの部分方程式構成に寄与するか？
• RQ3 領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 上で、方程式 $p(D^2u) = 0$ のDirichlet問題が一意な連続解を持つための条件は何か？
• RQ4 Riemann多様体上での方程式 $p(\mathrm{Hess}\,u) = 0$ に対して、Gårding理論がどのように単調性錐を生成するか？
• RQ5 Gurvitsの不等式は、方向微分の反復的適用と容量推定を用いて、Gårdingの不等式の改良として導出可能か？

主な発見

• Gårding錐内 $b \in \Gamma$ の要素による平行移動 $x + tb$ に対して、固有値関数 $\lambda_k(x + tb)$ は $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への厳密に単調増加な実解析的写像であり、実解析的逆写像をもつ。
• Gårding錐 $\Gamma$ は凸であり、すべての $b \in \Gamma$ に対して $\lambda_k^\uparrow(x + b) > \lambda_k^\uparrow(x)$ を満たす単調性性質を有する。これは部分方程式理論にとって不可欠である。
• 任意の閉じた対称集合 $E \subset \mathbb{R}^m$ で $E + \mathbb{R}_+^m \subset E$ を満たすものに対して、$\lambda(D^2u) \in \partial E$ で定義されるDirichlet問題は、境界が $(p,E)$-擬凸である滑らかな領域 $\Omega$ 上で一意な連続解を持つ。
• Gårding錐 $\overline{\Gamma}$ は、Riemann多様体上での方程式 $p(D^2u) = 0$ のすべての $m$ 個の異なる分岐について単調性錐として機能する。
• Gurvitsの不等式は、Gårdingの不等式を強化し、$b_1,\dots,b_m \in \Gamma(p)$ に対して $\frac{1}{m^m} \mathrm{Cap}(p) \leq \frac{1}{m!} p^{(m)}_{b_1,\dots,b_m}$ を示す。等号成立条件はGårdingの結果と同一である。
• 容量 $\mathrm{Cap}_{b_1,\dots,b_m}(p)$ は、帰納的評価 $\frac{1}{k^k} \mathrm{Cap}_{b_1,\dots,b_k}(p^{(m-k)}_{b_{k+1},\dots,b_m}) \leq \frac{1}{k(k-1)^{k-1}} \mathrm{Cap}_{b_1,\dots,b_{k-1}}(p^{(m-k+1)}_{b_k,\dots,b_m})$ を満たし、容量推定の再帰的改良を提供する。