[論文レビュー] Hyperbolic relaxation technique for solving the dispersive Serre-Green-Naghdi Equations with topography

Jean‐Luc Guermond, Christopher E. Kees+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2021

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 31被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、完全な水深効果を考慮した分散的Serre-Green-Naghdi方程式に対して、双曲的リラクゼーション技法を導入し、リラクゼーションによる双曲的再定式化によって安定で明示的な時間積分を可能にする。この手法により、元のモデルに収束する2次精度の有限要素シミュレーションが得られ、良好な一致を示す。特に、水深補正を含めた場合に実験データと優れた一致を示す。

ABSTRACT

The objective of this paper is to propose a hyperbolic relaxation technique for the dispersive Serre-Green-Naghdi equations (also known as the fully non-linear Boussinesq equations) with full topography effects introduced in Green, A.E. and Naghdi, P.M. (J. Fluid Mech., 78, 237-246, 1976) and Seabra-Santos el al (J. Fluid Mec.h, 176, 117-134, 1997). This is done by revisiting a similar relaxation technique introduced in Guermond el al (J. Comput. Phys., 399, 108917, 2019) with partial topography effects. We also derive a family of analytical solutions for the one-dimensional dispersive Serre-Green-Naghdi equations that are used to verify the correctness the proposed relaxed model. The method is then numerically illustrated and validated by comparison with experimental results.

研究の動機と目的

• 完全な水深効果を有する分散的Serre-Green-Naghdi方程式における3階空間微分の数値的挑戦に取り組む。
• 高次微分による陰的時間積分の制限を、リラクゼーションを用いた双曲的再定式化によって克服する。
• リラクゼーション手法が、バランスの取れた性質、正値性、エネルギー保存を保持することを保証する。
• 実験データと比較して手法を検証し、特に複雑な水深形状における波の反射と押し戻しを正確に再現することを目的とする。
• 実際の波動ダイナミクスの正確なシミュレーションにおいて、完全な水深補正の重要性を示すこと。

提案手法

• 水深効果を含む分散的Serre-Green-Naghdi方程式を、制約付き1階双曲的系に再定式化する。
• 制約を双曲的リラクゼーション系に置き換えるリラクゼーション技法を導入し、明示的時間積分を可能にする。
• エネルギー保存則に整合するように、追加の保存則を導入し、源項を修正する。
• P1要素を用いた有限要素法による空間離散化を実施し、正値性とバランスの取れた性質を保証する。
• リラクゼーションパラメータを局所メッシュサイズに比例させるように設定し、リラクゼーションパラメータに関して1次収束を達成する。
• 壁境界条件を実装し、時間積分にはCFL数0.25を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な水深効果を有する完全分散的Serre-Green-Naghdi方程式に対して、明示的時間積分を可能にする双曲的リラクゼーション技法を開発できるか？
• RQ2 水深補正を無視するモデルと比較して、水深補正が波の反射および押し戻しシミュレーションの精度に与える影響は何か？
• RQ3 提案されたリラクゼーション手法は、バランスの取れた性質、正値性、エネルギー保存といった重要な物理的性質を保持するか？
• RQ4 リラクゼーションパラメータに関して、元のSerreモデルに期待される1次収束率で収束するか？
• RQ5 数値モデルは、円錐型の島における単独波の押し戻しおよび盛り上がりバーを越える波の過剰上昇について、実験データをどれほど正確に再現できるか？

主な発見

• 双曲的リラクゼーション技法により、水深効果を含む分散的Serre-Green-Naghdi方程式に対して明示的時間積分が可能となり、陰的ソルバーの必要がなくなる。
• リラクゼーションパラメータを局所メッシュサイズに比例させる場合、数値的シミュレーションは元のモデルに対して1次収束を示す。
• 乾燥状態および複雑な水深形状においても、バランスの取れた性質、正値性、エネルギー保存が維持される。
• 1次元のバー越え（SHおよびSL実験）および2次元の円錐型島における単独波の押し戻しの両方において、実験データと優れた一致を示す。
• 完全な水深補正を無視すると、特に波の反射および押し戻しの大きさにおいて実験データと一致が悪くなる。
• 非自明な水深を有する1次元系に対する解析解が、非製造的で厳密なベンチマークとして、コード検証に有効であることが示された。