[論文レビュー] Hyperbolic saddle measures and laminarity for holomorphic endomorphisms of $P^2C$

Sandrine Daurat|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素射影平面 ℙ²ℂ 上の正則自己準同型における双曲的サドル型測度（吸引的集合上に台を持つ）の近傍で、グリーンカレントの層状性を確立する。ベッドフォードとヨンソンの結果を一般化したものである。不変測度 ν = T ∧ Tᵘ がエントロピー log(d) を最大とし、周期点が等分布すること、および不安定多様体上の条件付き測度がグリーンカレント T によって誘導されることを証明する。これは、チューブ型近傍および小規模な位相的次数またはヤコビアンの仮定のもとで成り立つ。

ABSTRACT

We study the laminarity of the Green current of endomorphisms of $P^2C$ near hyperbolic measures of saddle type. When these measures are supported by attracting sets, we prove that the Green current is laminar in the basin of attraction and we obtain new ergodic properties. This generalizes some results of Bedford and Jonsson on regular polynomial mappings in $C^2$.

研究の動機と目的

• 正則自己準同型 f: ℙ²ℂ → ℙ²ℂ の吸引領域内におけるトレース測度 σ_T がほとんど everywhere でどのように振る舞うかを理解すること。
• ベッドフォードとヨンソンの正則多項式写像における層状性および等分布性の結果を、非一様的双曲的サドル型測度へ一般化すること。
• 不変測度 ν = T ∧ Tᵘ が吸引領域内に唯一の最大エントロピー log(d) を持つ測度であることを確立すること。
• 不安定多様体上での ν の分解が、グリーンカレント T によって誘導されることを示し、無限遠直線の場合に見られる構造を拡張すること。

提案手法

• f が曲線 ℓ のチューブ型近傍であるトラッピング領域 U を持つと仮定し、U がユークリッドリトラクトであることを保証する。
• 吸引集合 𝒜 の近傍で、f に対して小規模な位相的次数 (Sd_t) または小規模なヤコビアン (SJ) 条件を課す。
• 不変カレント Tᵘ ∈ ℂ_{(1,1)}(U) を構成し、(1/d)f_*Tᵘ = Tᵘ を満たすことで、不安定方向を表す。
• ν = T ∧ Tᵘ がエントロピー log(d) の混合測度であり、サドル型の双曲的性質を持ち、均衡測度 μ_eq とは台が離れていることを証明する。
• パrametrized された自己準同型族 F_α,θ (α ∈ V) を用いた変形技術により、族 R_α,A を構成し、その弱収束極限を分析する。
• ディンと他の研究者によるカレントの構造およびその引き戻しに関する結果を応用し、極限カレント R_1 が元のカレント R を回復することを示し、層状性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則自己準同型 f: ℙ²ℂ → ℙ²ℂ の双曲的サドル型測度の吸引領域近傍において、グリーンカレント T がいつ層状であるか。
• RQ2 このような測度において、吸引領域内での周期点の等分布性は確立可能か。また、それが不変測度 ν = T ∧ Tᵘ に弱-* 収束するか。
• RQ3 不変測度 ν の不安定多様体上での分解が、ベッドフォード＝ヨンソンの事例と同様にグリーンカレント T によって誘導されるか。
• RQ4 非一様的双曲的設定において、層状性 T が、一様双曲的または正則多項式写像の設定から一般化可能か。
• RQ5 前像 f^{-n}(L) の genus の成長をどの程度制御できるか。その制御が、吸引領域内での T の層状性を示すにあたってどの程度有効か。

主な発見

• 不変測度 ν = T ∧ Tᵘ は、吸引集合 𝒜 の吸引領域 𝔹_𝒜 内で唯一の最大エントロピー log(d) を持つ測度である。
• 正規化された周期点測度の列 ν_n = (1/d^n)∑_{κ∈Per_n ∩ 𝔹_𝒜} δ_κ は、n → ∞ のとき弱-* 収束して ν に近づく。
• ν の不安定多様体上での条件付き測度は、グリーンカレント T によって誘導され、ベッドフォードとヨンソンによる無限遠直線の場合の結果を一般化する。
• チューブ型近傍および小規模な位相的次数またはヤコビアンの仮定のもとで、グリーンカレント T は吸引領域内で層状である。
• ペジンボックスから得られる層状カレント T^s_𝒫 の構成において、M(T^s_𝒫 ∧ Tᵘ) ≥ ν(𝒫)(1−ε)νᵘ(𝒫) が成り立つ。これは、一様層状性への可能性を示唆する。
• 小規模な位相的次数仮定のもとで、f^{-n}(L) ∩ U の genus は O(n d^n) のオーダーで成長するが、小さなハンドルの数は O(d^n) で有界である。これは、層状性に向けた部分的な制御を示唆する。