[論文レビュー] Hyperbolic wavelet analysis of classical isotropic and anisotropic Besov-Sobolev spaces

Martin Schäfer, Tino Ullrich+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2019

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 44被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、滑らかさ重みに非等方性を組み込んだ超曲線的Littlewood-Paley解析を通じて、非等方的超曲線的Besov空間およびTriebel-Lizorkin空間を導入し、一様な非等方的ウェーブレット基底を用いて非等方的滑らかさを特徴付けることを可能にする。主な貢献は、Sobolev範囲において、これらの新規空間が古典的非等方的Besov-Triebel空間と一致することであり、非等方性ベクトルや基底の適合に関する事前知識がなくても、普遍的な非等方性検出が可能となる。

ABSTRACT

In this paper we introduce new function spaces which we call anisotropic hyperbolic Besov and Triebel-Lizorkin spaces. Their definition is based on a hyperbolic Littlewood-Paley analysis involving an anisotropy vector only occurring in the smoothness weights. Such spaces provide a general and natural setting in order to understand what kind of anisotropic smoothness can be described using hyperbolic wavelets (in the literature also sometimes called tensor-product wavelets), a wavelet class which hitherto has been mainly used to characterize spaces of dominating mixed smoothness. A centerpiece of our present work are characterizations of these new spaces based on the hyperbolic wavelet transform. Hereby we treat both, the standard approach using wavelet systems equipped with sufficient smoothness, decay, and vanishing moments, but also the very simple and basic hyperbolic Haar system. The second major question we pursue is the relationship between the novel hyperbolic spaces and the classical anisotropic Besov-Lizorkin-Triebel scales. As our results show, in general, both approaches to resolve an anisotropy do not coincide. However, in the Sobolev range this is the case, providing a link to apply the newly obtained hyperbolic wavelet characterizations to the classical setting. In particular, this allows for detecting classical anisotropies via the coefficients of a universal hyperbolic wavelet basis, without the need of adaption of the basis or a-priori knowledge on the anisotropy.

研究の動機と目的

• 非等方性方向に関する事前知識に依存しない、非等方的滑らかさの一般枠組みの構築。
• 滑らかさ重みに非等方性を組み込んだ超曲線的Littlewood-Paley分解に基づく、新しい関数空間（超曲線的BesovおよびTriebel-Lizorkin空間）の定義。
• 滑らかな超曲線的ウェーブレットおよび超曲線的ハール系の両方を用いて、これらの新規空間の正確な特徴付けの確立。
• 新規の超曲線的空間と古典的非等方的Besov-Triebel-Lizorkin空間との関係の明確化、特にSobolev範囲における関係。
• 一様な超曲線的ウェーブレット基底が、非等方性の事前情報なしに、古典的非等方性を検出可能であることを示すこと。

提案手法

• 超曲線的Littlewood-Paley分解を用いた新規関数空間の定義：$\Delta_{\bar{j}}(f) := \mathcal{F}^{-1}[\theta_{j_1} \otimes \cdots \otimes \theta_{j_d} \mathcal{F}f]$、ここで $\bar{j} \in \mathbb{N}_0^d$。
• 非等方性をベクトル $\bar{\alpha} = (\alpha_1, \ldots, \alpha_d) > 0$ で導入し、$\sum \alpha_i = d$ を満たす。このベクトルは、新規空間 $\widetilde{A}^{s,\bar{\alpha}}_{p,q}(\mathbb{R}^d)$ の滑らかさ重みにのみ関与する。
• 超曲線的ウェーブレット変換を用いて新規空間を特徴付ける。滑らかさ、十分な減衰、ゼロモーメントを持つ滑らかなウェーブレットと、より単純な超曲線的ハール系の両方を用いる。
• 新規の超曲線的空間と、超曲線的ウェーブレット係数の系列ノルムとの間のノルム同値性を確立し、正確な特徴付けを証明する。
• 波形変換の同型定理（定理4.2）を適用し、関数ノルムと係数系列ノルム（$\ell^p$ および $\ell^q$ 空間内）との関係を確立する。
• 独立同一分布に従う符号を有するランダムウェーブレット級数の振る舞いを解析し、$L_p$-ノルムの下界を導出。$p \geq 2$ に対して $\mathbb{E}_{\bar{\varepsilon}}(\|f_{N,\bar{\varepsilon}}\|_p^p) \asymp N^{p/2}$ であり、$\|f_N\|_p \asymp \sqrt{N}$ が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様な超曲線的ウェーブレット基底を用いて、非等方性方向の事前知識なしに非等方的滑らかさを特徴付けることは可能か？
• RQ2 新たに定義された超曲線的Besov-Triebel-Lizorkin空間は、古典的非等方的関数空間とどのように関係しているか？
• RQ3 超曲線的ウェーブレットに基づく空間と古典的非等方的空間が一致する滑らかさの範囲は何か？
• RQ4 独立同一分布に従う符号を有するランダムウェーブレット級数の $L_p$-ノルムにおけるウェーブレット係数系列の振る舞いは何か？
• RQ5 超曲線的ウェーブレット変換は、滑らかさの混合性を持つ信号において、事前に非等方性が分からない状況でも非等方性を検出可能か？

主な発見

• 滑らかなウェーブレットおよび超曲線的ハール系の両方を用いて、新規の超曲線的BesovおよびTriebel-Lizorkin空間 $\widetilde{A}^{s,\bar{\alpha}}_{p,q}(\mathbb{R}^d)$ が、超曲線的ウェーブレット変換によって正確に特徴付けられる。
• $p \geq 2$ の場合、独立同一分布に従う符号を有するランダムウェーブレット級数の期待 $L_p$-ノルムは $\mathbb{E}_{\bar{\varepsilon}}(\|f_{N,\bar{\varepsilon}}\|_p^p) \asymp N^{p/2}$ を満たし、$\|f_N\|_p \asymp \sqrt{N}$ が成り立つ。
• Sobolev範囲（$F^{s,\bar{\alpha}}_{p,2}$）において、新規の超曲線的空間は古典的非等方的Triebel-Lizorkin空間と一致する。これにより、両フレームワークの橋渡しがなされる。
• 超曲線的ウェーブレット変換により、非等方性の普遍的検出が可能である。一様な基底を用いることで、非等方性ベクトルの事前知識や基底の適合なしに、非等方的滑らかさを解像可能である。
• $p < 1$ の場合、局在化された周波数投影の $F^0_{p,q}$-ノルムは $\|f_N\|_{F^0_{p,q}} \gtrsim 1$ を満たすが、$p \geq 1$ の場合、$N^{1/p}$ の割合で増加する。これは $p$ に依存した明確な挙動の違いを示している。
• ウェーブレット係数系列ノルムは、新規の超曲線的空間における関数ノルムと同値である。これにより、超曲線的ウェーブレット変換による関数空間と系列空間との間の同型性が確認される。