[論文レビュー] Hyperbolicity and recurrence in dynamical systems: a survey of recent results

Luís Barreira|ArXiv.org|Oct 17, 2002

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 105被引用数 9

ひとこと要約

本論文は、力学系における双曲性、再帰性、次元論の相関関係を調査し、定量的再帰率とフラクタル次元の関係に焦点を当てる。双曲的系における平衡測度に関して、再帰率が安定成分と非安定成分に分解され、帰還時間は安定方向と非安定方向における帰還時間の積として近似的に因数分解されることを示している。これは再帰行動に積構造が存在することを反映している。

ABSTRACT

We discuss selected topics of current research interest in the theory of dynamical systems, with emphasis on dimension theory, multifractal analysis, and quantitative recurrence. The topics include the quantitative versus the qualitative behavior of Poincaré recurrence, the product structure of invariant measures and return times, the dimension of invariant sets and invariant measures, the complexity of the level sets of local quantities from the point of view of Hausdorff dimension, and the conditional variational principles as well as their applications to problems in number theory. We present the foundations of each area, and discuss recent developments and applications. All the necessary notions from ergodic theory, hyperbolic dynamics, dimension theory, and the thermodynamic formalism are briefly recalled. We concentrate on uniformly hyperbolic dynamics, although we also refer to nonuniformly hyperbolic dynamics. Instead of always presenting the most general results, we made a selection with the purpose of illustrating the main ideas while we avoid the accessory technicalities.

研究の動機と目的

• 双曲的力学系におけるポincare再帰の定量的性質を、定性的な再帰定理を越えて調査すること。
• 再帰率と不変集合・測度の次元との間の関係を確立すること。
• 双曲的系における安定・非安定方向の帰還時間の積構造を探索すること。
• 数論への応用を含む、多フラクタル解析と変分原理の最近の進展を提示すること。
• 非専門家向けに、エルゴディック理論、次元論、熱力学的形式主義の主要概念を包括的に概説すること。

提案手法

• 本論文は、局所的に最大でコンパクトな双曲的集合上の一様双曲的力学の枠組みを用いる。
• 可測分割に関連する条件付き測度の理論を応用し、安定・非安定再帰率を定義する。
• 再帰率は、スケールの対数に対する帰還時間の対数の極限として定義され、一般の点に対してliminfおよびlimsupのバージョンが用いられる。
• 著者らはLedrappier-Youngの公式を用いて、再帰率と条件付き測度の次元を関連付ける。
• τ_r(x) ≈ τ_r^s(x,ρ) · τ_r^u(x,ρ) が、十分に小さな r に対して多項式より小さい誤差で成り立つことを示すことにより、帰還時間の積構造を確立する。
• 記号的力学と、OrnsteinおよびWeissによるシフト空間における帰還時間に関する結果を分析に用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的系における再帰率は、安定成分と非安定成分にどのように分解されるか？
• RQ2 安定方向と非安定方向における帰還時間は、どの程度乗法的に因数分解可能か？
• RQ3 再帰率と不変測度のハウスドルフ次元の間にはどのような関係があるか？
• RQ4 熱力学的形式主義における変分原理は、再帰性と数論とどのように関連するか？
• RQ5 平衡測度が双曲的集合上で定義される場合、帰還時間の積構造を厳密に確立できるか？

主な発見

• C^{1+α}微分同相写像が、位相的混合性を示す局所的に最大でコンパクトな双曲的集合上で作用する場合、μ-ほとんど everywhere で再帰率 R(x) は安定再帰率 R^s(x) と非安定再帰率 R^u(x) の和に等しい：R(x) = R^s(x) + R^u(x)。
• μ-ほとんど everywhere で、R^s(x) = lim_{r→0} log μ^s_x(B^s(x,r)) / log r および R^u(x) = lim_{r→0} log μ^u_x(B^u(x,r)) / log r が成り立つ。
• 任意の ρ < ρ(x) および十分に小さい r < r(x,ρ,ε) に対して、比 τ_r^s(x,ρ) · τ_r^u(x,ρ) / τ_r(x) が r^ε から r^{-ε} の間にあるような ρ(x) > 0 が存在し、安定方向と非安定方向における帰還時間の近似的な独立性を示している。
• この結果は、OrnsteinおよびWeissによる記号的系における帰還時間の結果を一般化し、次元論的技法を用いて滑らかな双曲的系へと拡張している。
• 再帰時間の積構造は、安定方向と非安定方向の再帰行動が独立に進化するという考えと整合的である。
• この枠組みは、ホルダー連続なポテンシャルの平衡測度に適用可能であり、再帰性と熱力学的形式主義、多フラクタル解析を結びつける。