[論文レビュー] Hyperbolicity, CAT(-1)-spaces and the Ptolemy Inequality

Thomas Foertsch, Viktor Schroeder|ArXiv.org|May 16, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、CAT(-1)空間の視覚的境界として現れるための必要条件を確立する。それは、双曲幾何における古典的Ptolemyの定理の一般化であるPtolemyの不等式である。Bourdonの結果から導かれる四点不等式を用いて、著者らは任意のCAT(-1)空間の境界が、このMöbius不変な不等式を満たすことを示し、等号が成立するのは四点が双曲平面上の理想四角形をなす場合に限ることを示した。これは、空間がCAT(-1)空間の視覚的境界であるための幾何的障害を提供する。

ABSTRACT

Using a four points inequality for the boundary of CAT(-1)-spaces, we study the relation between Gromov hyperbolic spaces and CAT(-1)-spaces.

研究の動機と目的

• 測度空間がCAT(-1)空間の視覚的境界として現れるための必要幾何的条件を特定すること。
• 境界幾何学を用いて、Gromov双曲空間とCAT(-1)空間の関係を分析すること。
• 漸近的上部曲率束を用いた正規化により、Gromov双曲空間が粗等長写像でCAT(-1)空間と同一視できる条件を特徴づけること。
• Ptolemyの不等式がMöbius変換に関して不変であること、したがって境界幾何学に適した条件であることを示すこと。

提案手法

• BourdonによるCAT(-1)空間の境界に関する結果から四点不等式を導出する。
• 視覚的境界におけるMöbius不変条件としてPtolemyの不等式を導入する。
• 臨界測度正規化（K_u(X) = -1）を用いて、視覚的Gromov双曲空間とCAT(-1)空間間の粗等長写像を研究する。
• Assouad埋め込み定理とスノーフレーク写像を用いて、ヒルベルト空間への埋め込みを構成し、その後CAT(-1)空間の境界への埋め込みを構築する。
• 立体射影とリプシッツ同相埋め込みを用いて、無限次元CAT(-1)空間の境界への1/2-スノーフレーク写像を構成する。
• Lang-SchlichenmaierおよびAlexander-Bishopの結果を活用し、有限なAssouad-Nagata次元が、小さなスケーリングの後で粗等長写像をもたらすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの測度空間がCAT(-1)空間の視覚的境界として現れうるか？
• RQ2 視覚的境界として実現可能であるためには、境界空間が満たすべき必要幾何的条件は何か？
• RQ3 視覚的Gromov双曲空間がいつCAT(-1)空間と粗等長写像で同一視可能か？
• RQ4 Ptolemyの不等式は双曲空間における理想四角形の幾何とどのように関係するか？
• RQ5 有限なAssouad-Nagata次元を持つ空間からのスノーフレーク写像を用いて、CAT(-1)境界への埋め込みを構成できるか？

主な発見

• 任意のCAT(-1)空間の境界はPtolemyの不等式を満たす：境界上の任意の四点について、|y₁y₃||y₂y₄| ≤ |y₁y₂||y₃y₄| + |y₂y₃||y₄y₁| が成り立つ。
• Ptolemyの不等式における等号が成立するのは、四点の凸包が双曲平面上の理想四角形に等長写像で対応する場合に限る。このとき対角線はy₁y₃とy₂y₄である。
• Ptolemyの不等式はMöbius変換に関して不変であるため、CAT(-1)空間の境界幾何学に自然な条件である。
• 木的でない視覚的Gromov双曲空間で境界がダブリング条件を満たす場合、臨界測度を任意のλ < 1でスケーリングすると、CAT(-1)空間と粗等長写像で同一視可能である。
• 境界のAssouad-Nagata次元が有限であれば、臨界測度の小さなスケーリングにより、CAT(-1)空間と粗等長写像で同一視可能である。
• 立体射影とヒルベルト空間へのリプシッツ同相埋め込みを用いて、無限次元CAT(-1)空間の境界への1/2-スノーフレーク写像が存在する。