[論文レビュー] Hypercontractivity and logarithmic Sobolev Inequality for non-primitive quantum Markov semigroups and estimation of decoherence rates

Ivan Bardet, Cambyse Rouzé|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2018

Random Matrices and Applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非原始的量子マコフ半群（QMS）における超合同性および対数的ソボレフ不等式（LSI）のための新しい枠組みを、合成された $L_p$ ノルムを用いて導入する。これは、原始的ケースにおける先行研究を一般化したものである。弱超合同性が弱LSIを示すことを示し、非自明に原始的なQMSでは強LSIおよび強超合同性が成立しないことを証明する。また、完全有界（CB）ノルムを用いてデコherenceレートの普遍的上限を導出し、テンソル化された系へと結果を拡張する。

ABSTRACT

We generalize the concepts of weak quantum logarithmic Sobolev inequality (LSI) and weak hypercontractivity (HC), introduced in the quantum setting by Olkiewicz and Zegarlinski, to the case of non-primitive quantum Markov semigroups (QMS). The originality of this work resides in that this new notion of hypercontractivity is given in terms of the so-called amalgamated $\mathbb{L}_p$ norms introduced recently by Junge and Parcet in the context of operator spaces theory. We make three main contributions. The first one is a version of Gross' integration lemma: we prove that (weak) HC implies (weak) LSI. Surprisingly, the converse implication differs from the primitive case as we show that LSI implies HC but with a weak constant equal to the cardinal of the center of the decoherence-free algebra. Building on the first implication, our second contribution is the fact that strong LSI and therefore strong HC do not hold for non-trivially primitive QMS. This implies that the amalgamated $\mathbb{L}_p$ norms are not uniformly convex for $1\leq p \leq 2$. As a third contribution, we derive universal bounds on the (weak) logarithmic Sobolev constants for a QMS on a finite dimensional Hilbert space, using a similar method as Diaconis and Saloff-Coste in the case of classical primitive Markov chains, and Temme, Pastawski and Kastoryano in the case of primitive QMS. This leads to new bounds on the decoherence rates of decohering QMS. Additionally, we apply our results to the study of the tensorization of HC in non-commutative spaces in terms of the completely bounded norms (CB norms) recently introduced by Beigi and King for unital and trace preserving QMS. We generalize their results to the case of a general primitive QMS and provide estimates on the (weak) constants.

研究の動機と目的

• 非原始的量子マコフ半群（QMS）への弱超合同性および弱対数的ソボレフ不等式（LSI）の一般化を図ること。ここで、力学は非自明なデコherenceフリー代数に収束する。
• 非原始的設定におけるグロスの積分補題のバージョンを確立し、弱超合同性が弱LSIを示すことを示すこと。
• 非自明に原始的なQMSでは強LSIおよび強超合同性が成立しないことを示し、$1 \leq p \leq 2$ における合成された $ L_p$ ノルムの非一様凸性を示唆すること。
• ダイアコニスとサロフ・コステ、テンメらの手法にインspiredされた方法を用いて、有限次元QMSの弱対数的ソボレフ定数に対する普遍的上限を導出し、デコherenceレートの推定値を得ること。
• 一般原始的QMSにおける完全有界（CB）対数的ソボレフ不等式の理論を拡張し、弱定数の推定値を提供するとともに、テンソル化の性質を含む。

提案手法

• 半群のデコherenceフリー代数 $ N( P)$ およびトレース正規化済み不変状態 $\sigma_{\operatorname{Tr}}$ に依存する、合成された $ L_p$ ノルムに基づく超合同性の新しい概念を導入する。
• コサキの非可換重み付き $ L_p$ 空間理論と、ジャンジュおよびパーセットによる最近の作用素空間技法を応用して、合成ノルムを定義する。
• 一般化されたグロスの積分補題を証明：弱超合同性が弱LSIを示し、定数はデコherenceフリー代数の中心の濃度に依存する。
• スぺクトルギャップと逆ノルム $\|\sigma^{-1}\|_{\infty}$ を用いて、弱CB-対数的ソボレフ定数の上限を導出し、デコherenceレートの明示的上限を得る。
• 完全有界（CB）ノルムの乗法性を活用して、テンソル化されたQMSに理論を適用し、弱CB-LSI定数がテンソル化において加法的であることを証明する。
• 強LSIおよび強超合同性が非原始的QMSでは成立しないことを示し、これは $1 \leq p \leq 2$ における合成された $ L_p$ ノルムの非一様凸性に起因する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱超合同性および弱対数的ソボレフ不等式の概念を非原始的量子マコフ半群に一般化できるか？
• RQ2 弱超合同性は非原始的ケースにおいて弱LSIを示すか？また、デコherenceフリー代数の中心は定数にどのように寄与するか？
• RQ3 非原始的QMSでは強対数的ソボレフ不等式および強超合同性が成立可能か？また、合成された $ L_p$ ノルムの構造的性質は、それらの成立を妨げるか？
• RQ4 有限次元QMSの弱対数的ソボレフ定数に対して、どのような普遍的上限を導出できるか？また、それらはデコherenceレートとどのように関係するか？
• RQ5 完全有界（CB）ノルムは、一般原始的QMSにおける対数的ソボレフ不等式のテンソル化をどのように拡張するか？また、多部屋系に与える影響は何か？

主な発見

• 非原始的QMSにおいて、弱超合同性は弱対数的ソボレフ不等式（LSI）を示す。定数はデコherenceフリー代数の中心の濃度によって上限が与えられる。
• 非自明に原始的なQMSでは、強LSIおよび強超合同性は成立しない。これは、$1 \leq p \leq 2$ における合成された $ L_p$ ノルムが一様凸でないことを示唆する。
• 弱CB-対数的ソボレフ定数に対する普遍的上限が導出される：$ c \leq \frac{\ln\|\sigma^{-1}\|_{\infty} + 2}{2\lambda(\mathcal{L})} $ ここで $\lambda(\mathcal{L})$ はスぺクトルギャップである。
• 弱CB-対数的ソボレフ不等式は、加法的定数とともにテンソル化される：$n$ 個のテンソル化された原始的QMSに対して、定数 $c$ は個々の $c_i$ の最大値であり、$d = \sum d_i$ である。
• 本フレームワークにより、一般原始的QMSにおけるCB-対数的ソボレフ不等式が拡張され、ベイジとキングの結果が一般化される。また、テンソル化された設定における弱定数の推定値が得られる。
• これらの結果により、特に散乱状態準備や量子メモリ安定性の文脈において、非原始的QMSのデコherenceレートに対する新しい明示的上限が得られる。