[論文レビュー] Hypercontractivity of the Bohnenblust-Hille inequality for polynomials and multidimensional Bohr radii

Andreas Defant, Leonhard Frerick|ArXiv.org|Mar 19, 2009

Advanced Banach Space Theory参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、同次多項式におけるボーデンブルスト＝ヘイラー不等式の超合同性を確立し、最適定数が次数に関して指数関数的に増大することを示した。これにより、$\sigma$-凸体の多次元ボーア半径に対する鋭い漸近的下界が得られ、$\ell_n^p$ の単位球のボーア半径 $K_n^p$ は、$n \to \infty$ の際に $(\log n/n)^{1-1/\min(p,2)}$ に漸近的に少なくとも等しいことが示された。これは既知の上界と一致し、ボアスとカヴァンソンの意味での最適性が解明された。

ABSTRACT

In 1931 Bohnenblust and Hille proved that for each m-homogeneous polynomial $\sum_{|α| = m} a_αz^α$ on $\C^n$ the $\ell^{\frac{2m}{m+1}}$-norm of its coefficients is bounded from above by a constant $C_m$ (depending only on the degree $m$) times the sup norm of the polynomial on the polydisc $\mathbb{D}^n$. We prove that this inequality is hypercontractive in the sense that the optimal constant $C_m$ is $\leq C^m$ where $C \geq 1$ is an absolute constant. From this we derive that the Bohr radius $K_n$ of the $n$-dimensional polydisc in $\mathbb{C}^n$ is up to an absolute constant $\geq \sqrt{\log n/n}$; this result was independently and with a differnt proof discovered by Ortega-Cerd{à}, Ounaïes and Seip. An alternative approach even allows to prove that the Bohr radius $K_n^p$, $1 \leq p \leq \infty $ of the unit ball of $\ell_n^p ,$ is asymptotically $ \geq (\log n/n) ^{1-1/ \min (p,2)}$. This shows that the upper bounds for $K_n^p$ given by Boas and Khavinson are optimal.

研究の動機と目的

• 複素数 $\mathbb{C}^n$ 上の $m$-同次多項式に対するボーデンブルスト＝ヘイラー不等式の超合同性を確立すること。
• $\ell_n^p$ の単位球の多次元ボーア半径 $K_n^p$ に対する鋭い漸近的下界を導出すること。
• ボアスとカヴァンソンが与えた $K_n^p$ の上界が、漸近的に最適であることを示すこと。

提案手法

• $m$-同次多項式に対するボーデンブルスト＝ヘイラー不等式の最良定数 $D_m$ が、絶対定数 $C \geq 1$ に対して $D_m \leq C^m$ を満たすことを証明し、超合同性を確立すること。
• 超合同的推定を用いて、$m$-同次多項式空間における単項式の無条件基底定数 $\chi_{\text{mon}}(\mathcal{P}(^m \ell_n^p))$ を評価すること。
• ハーン＝バナッハの拡張とホルダーの不等式を用いて、$\mathcal{P}(^m \ell_n^p)$ の射影定数に関する推定を適用すること。
• $K_n^p \geq \frac{1}{3 \sup_m \chi_{\text{mon}}(\mathcal{P}(^m \ell_n^p))^{1/m}}$ の関係を用いてボーア半径の下界を導出すること。
• $m(n/m)^{1/m}$ の漸近的最小化を適用し、$K_n^p$ の境界を最適化すること。
• $\ell_\infty^n$ の極大化定数に関する既知の推定と、カチンチェ型不等式を用いて定数を精緻化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $m$-同次多項式に対するボーデンブルスト＝ヘイラー不等式は超合同的か、すなわちその最良定数が $m$ に関して指数関数的に増大するか？
• RQ2 $n \to \infty$ のとき、$\ell_n^p$ の単位球のボーア半径 $K_n^p$ の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ3 ボアスとカヴァンソンが与えた $K_n^p$ の上界は最適か、それとも改善可能か？
• RQ4 無条件基底定数 $\chi_{\text{mon}}(\mathcal{P}(^m \ell_n^p))$ は $n$ と $m$ に関して漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ5 $n \to \infty$ のとき、$\sup_m \chi_{\text{mon}}(\mathcal{P}(^m \ell_n^p))^{1/m}$ の正確な漸近的増大度は何か？

主な発見

• $m$-同次多項式に対するボーデンブルスト＝ヘイラー不等式は超合同的である：最良定数 $D_m$ は、絶対定数 $C \geq 1$ に対して $D_m \leq C^m$ を満たし、従来の境界を改善する。
• 無条件基底定数 $\chi_{\text{mon}}(\mathcal{P}(^m \ell_n^p))$ は、ある絶対定数 $C \geq 1$ に対して、$\chi_{\text{mon}}(\mathcal{P}(^m \ell_n^p)) \leq C^m (1 + n/m)^{(m-1)(1 - 1/\min(p,2))}$ を満たす。ただし、$C$ は各ステップで変化しうる。
• $\ell_n^p$ の単位球の多次元ボーア半径 $K_n^p$ は、$n \to \infty$ のとき、$K_n^p \gtrsim (\log n / n)^{1 - 1/\min(p,2)}$ を満たす。これはボアスとカヴァンソンの上界と一致する。
• $K_n^p$ の漸近的下界は最適であり、既知の上界と一致するため、ボアスとカヴァンソンの推定値が鋭いことが確認された。
• $\sup_m \chi_{\text{mon}}(\mathcal{P}(^m \ell_n^p))^{1/m}$ は、ある絶対定数 $C$ に対して、$C (n / \log n)^{1/\max(p,2)}$ の漸近的増大度を示す。これは、対称的かつ完全な射影的テンソルノルムの間のギャップを定量的に示している。