[論文レビュー] Hypercubes, Leonard triples and the anticommutator spin algebra

George M. F. Brown|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、超立方体 $Q_D$ 及びその反対称商 $\tilde{Q}_D$ のテルヴィリッジャー代数と、反交換スピン代数 $\mathcal{A}$ の有限次元既約モジュールとの間の対応関係を確立する。また、既約モジュール上での隣接行列、双対隣接行列、重み付き隣接行列の作用が、Bannai/Ito型の完全二部的またはほぼ二部的レオンハルト三重組をなすことを示し、スピン代数の代数的構造および超立方体幾何学を用いて、このような三重組の完全分類を提供する。

ABSTRACT

This paper is about three classes of objects: Leonard triples, distance-regular graphs and the modules for the anticommutator spin algebra. Let $\K$ denote an algebraically closed field of characteristic zero. Let $V$ denote a vector space over $\K$ with finite positive dimension. A Leonard triple on $V$ is an ordered triple of linear transformations in $\mathrm{End}(V)$ such that for each of these transformations there exists a basis for $V$ with respect to which the matrix representing that transformation is diagonal and the matrices representing the other two transformations are irreducible tridiagonal. The Leonard triples of interest to us are said to be totally B/AB and of Bannai/Ito type. Totally B/AB Leonard triples of Bannai/Ito type arise in conjunction with the anticommutator spin algebra $\mathcal{A}$, the unital associative $\K$-algebra defined by generators $x,y,z$ and relations\[xy+yx=2z,\qquad yz+zy=2x,\qquad zx+xz=2y.\] Let $D\geq0$ denote an integer, let $Q_{D}$ denote the hypercube of diameter $D$ and let $ ilde{Q}_{D}$ denote the antipodal quotient. Let $T$ (resp. $ ilde{T}$) denote the Terwilliger algebra for $Q_{D}$ (resp. $ ilde{Q}_{D}$). We obtain the following. When $D$ is even (resp. odd), we show that there exists a unique $\mathcal{A}$-module structure on $Q_{D}$ (resp. $ ilde{Q}_{D}$) such that $x,y$ act as the adjacency and dual adjacency matrices respectively. We classify the resulting irreducible $\mathcal{A}$-modules up to isomorphism. We introduce weighted adjacency matrices for $Q_{D}$, $ ilde{Q}_{D}$. When $D$ is even (resp. odd) we show that actions of the adjacency, dual adjacency and weighted adjacency matrices for $Q_{D}$ (resp. $ ilde{Q}_{D}$) on any irreducible $T$-module (resp. $ ilde{T}$-module) form a totally bipartite (resp. almost bipartite) Leonard triple of Bannai/Ito type and classify the Leonard triple up to isomorphism.

研究の動機と目的

• 超立方体 $Q_D$ 及びその反対称商 $\tilde{Q}_D$ のテルヴィリッジャーアルゲブラと、反交換スピン代数 $\mathcal{A}$ の有限次元既約モジュールとの間の対応関係を確立すること。
• 隣接行列および双対隣接行列によって定義される $\mathcal{A}$-モジュール構造の下で、$Q_D$ 及び $\tilde{Q}_D$ の標準モジュールから生じる $\mathcal{A}$-既約モジュールを分類すること。
• 超立方体 $Q_D$ 及びその反対称商 $\tilde{Q}_D$ に対して重み付き隣接行列を定義し、それらが既約モジュール上でのレオンハルト三重組の生成に果たす役割を示すこと。
• テルヴィリッジャーアルゲブラの既約 $T$-モジュールまたは $\tilde{T}$-モジュール上での隣接行列、双対隣接行列、重み付き隣接行列の作用が、完全二部的またはほぼ二部的Bannai/Ito型レオンハルト三重組をなすことの証明。
• これらのレオンハルト三重組を同型を除いて分類し、モジュールのエンドポイントおよび次元 $D$ を用いて正規化および直径を指定すること。

提案手法

• 特性がゼロである代数的に閉じた体 $\mathbb{K}$ 上で、$xy+yx=2z$, $yz+zy=2x$, $zx+xz=2y$ の関係を満たす生成元 $x,y,z$ によって生成される反交換スピン代数 $\mathcal{A}$ を定義する。
• $Q_D$（偶数 $D$ の場合）または $\tilde{Q}_D$（奇数 $D$ の場合）の標準モジュールに、$x$ が隣接行列、$y$ が双対隣接行列として作用する $\mathcal{A}$-モジュール構造を構成する。
• $Q_D$ に対して重み付き隣接行列 $\mathbf{C}$、$\tilde{Q}_D$ に対して $\tilde{\mathbf{C}}$ を導入し、固定された頂点 $\mathbf{x}$ からの距離の最小値 $i$ に対して $(-1)^i$ の値をとる。
• $\mathcal{A}$-モジュール構造および代数的関係を用いて、$\mathbf{C}$ と $\tilde{\mathbf{C}}$ がそれぞれテルヴィリッジャーアルゲブラ $T$ および $\tilde{T}$ に属することを示す。
• 任意の既約 $T$-モジュール上での $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ の作用が完全二部的Bannai/Ito型レオンハルト三重組をなすこと、同様に $\tilde{\mathbf{A}}, \bar{\mathbf{B}}, \tilde{\mathbf{C}}$ が任意の既約 $\tilde{T}$-モジュール上でも同様の性質を持つことを証明する。
• モジュールのエンドポイント $r$ および $D$ や $\mathcal{D}$ の偶奇性を用いて、正規化および直径を用いて得られるレオンハルト三重組を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超立方体 $Q_D$ またはその反対称商 $\tilde{Q}_D$ 上での隣接行列、双対隣接行列、重み付き隣接行列は、どのようにしてレオンハルト三重組を生じるか？
• RQ2 スピン代数の関係によって定義される $\mathcal{A}$-モジュール構造の下で、$Q_D$ および $\tilde{Q}_D$ の標準モジュールから生じる $\mathcal{A}$-既約モジュールの構造は何か？
• RQ3 得られるレオンハルト三重組は、そのタイプ（二部的またはほぼ二部的）、正規化、直径の観点からどのように分類されるか？
• RQ4 重み付き隣接行列は、テルヴィリッジャーアルゲブラの既約モジュール上での完全二部的またはほぼ二部的レオンハルト三重組の生成に果たす役割は何か？
• RQ5 $D$ の偶奇性は、モジュール構造および得られるレオンハルト三重組の分類にどのように影響するか？

主な発見

• 偶数 $D$ の場合、$Q_D$ の標準モジュールに $x,y$ が隣接行列および双対隣接行列として作用する唯一の $\mathcal{A}$-モジュール構造が存在し、それによって得られる $\mathcal{A}$-既約モジュールは同型を除いて分類される。
• 奇数 $D$ の場合、$\tilde{Q}_D$ の標準モジュールに $x,y$ が隣接行列および双対隣接行列として作用する唯一の $\mathcal{A}$-モジュール構造が存在し、同様に $\mathcal{A}$-既約モジュールは分類される。
• $Q_D$ の重み付き隣接行列 $\mathbf{C}$ は、隣接頂点において $(-1)^i$ の値をとり、$i$ は固定頂点 $\mathbf{x}$ からの距離の最小値である。また、$\mathbf{C}$ はテルヴィリッジャーアルゲブラ $T$ に属する。
• $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ の作用が任意の既約 $T$-モジュール上で完全二部的Bannai/Ito型レオンハルト三重組をなす。この三重組は、エンドポイント $r$ のモジュールに対して直径 $D - 2r$ で正規化される。
• $\tilde{\mathbf{A}}, \tilde{\mathbf{B}}, \tilde{\mathbf{C}}$ の作用が任意の既約 $\tilde{T}$-モジュール上で完全ほぼ二部的Bannai/Ito型レオンハルト三重組をなす。この三重組は、$n$-正規化され、直径は $\mathcal{D} - r$ である。ここで $n$ は $r$ と $\mathcal{D}$ の偶奇性に依存する。
• 得られるレオンハルト三重組の分類は完全である：任意の既約 $T$-モジュールまたは $\tilde{T}$-モジュールは、一意に完全二部的／ほぼ二部的Bannai/Ito型レオンハルト三重組を生成し、モジュールのエンドポイントおよび次元 $D$ または $\mathcal{D}$ によって完全に特徴づけられる。