[論文レビュー] Hypercyclic and supercyclic linear operators on non-Archimedean vector spaces

Farrukh Mukhamedov, Otabek Khakimov|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2017

advanced mathematical theories参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非アルキメデス的ノルムを備えた線形作用素の超循環性および超循環性の理論を確立し、有限次元空間上には超循環作用素が存在しないことを証明するとともに、分離可能なF空間上での超循環作用素および超循環作用素を、超循環性および超循環性基準を用いて特徴づけている。主な結果として、非アルキメデス的体上の $ c_0 $ 上の作用素 $ I + \mu B $ は、いかなる場合にも超循環的でないことが示されている——これは、$ |\mu| > 1 $ のとき実数の場合には超循環的であるのと対照的である。

ABSTRACT

A main objective of the present paper is to develop the theory of hypercyclicity and supercyclicity of linear operators on topological vector space over non-Archimedean valued fields. We show that there does not exist any hypercyclic operator on finite dimensional spaces. Moreover, we give sufficient and necessary conditions of hypercyclicity (resp. supercyclicity) of linear operators on separable $F$-spaces. It is proven that a linear operator $T$ on topological vector space $X$ is hypercyclic (supercyclic) if it satisfies Hypercyclic (resp. Supercyclic) Criterion. We consider backward shifts on $c_0$, and characterize hypercyclicity and supercyclicity of such kinds of shifts. Finally, we study hypercyclicity, supercyclicity of operators $λI+μB$, where $I$ is identity and $B$ is backward shift. We note that there are essential differences between the non-Archimedean and real cases.

研究の動機と目的

• 非アルキメデス的ノルムを備えた線形作用素の超循環性および超循環性の理論を構築すること。
• 非アルキメデス的体上の分離可能なF空間における超循環性および超循環性の必要十分条件を同定すること。
• 非アルキメデス的設定下での後退シフト作用素および $ \lambda I + \mu B $ 形式の作用素の挙動を調査すること。
• 非アルキメデス的動的システムと実数値動的システムとの間の根本的な相違、特に $ I + \mu B $ の超循環性に関する相違を特定すること。

提案手法

• 超循環性および超循環性基準を、位相線形空間上での超循環性および超循環性の十分条件として用いる。
• 空間 $ c_0(\mathbb{N}) $ 上の後退シフト作用素 $ B $ を分析し、ノルム不等式および非アルキメデス的性質を用いてその超循環的および超循環的挙動を特徴づける。
• 非アルキメデス的ノルムの性質：$ |\lambda| \neq |\mu| $ ならば $ |\lambda + \mu| = \max\{|\lambda|, |\mu|\} $ を用いて、超循環性の仮定から矛盾を導出する。
• 作用素の反復列 $ T^n_{\lambda,\mu}(\mathbf{x}) $ を構成し、非アルキメデス的超三角不等式を用いて作用素ノルムを評価する。
• 超循環性基準を検証するために、$ |\lambda| < |\mu| $ のとき $ \|T^n_{\lambda,\mu}(\mathbf{x})\| \cdot \|S^n_{\mu,\lambda}(\mathbf{y})\| \to 0 $（$ n \to \infty $）を満たす、類似随伴作用素 $ S_{\mu,\lambda} $ を導入する。
• 超循環性を仮定し、$ |\mu| \leq |\lambda| $ の下で矛盾を導き出す背理法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アルキメデス的体上の分離可能なF空間上での線形作用素が、どのような条件下で超循環的または超循環的となるか？
• RQ2 非アルキメデス的設定下で、超循環性または超循環性基準を用いて超循環性および超循環性を特徴づけることができるか？
• RQ3 なぜ非アルキメデス的体上では $ c_0(\mathbb{N}) $ 上の作用素 $ I + \mu B $ は、いかなる場合にも超循環的でないのか？（実数の場合には $ |\mu| > 1 $ のとき超循環的であるが。）
• RQ4 後退シフト作用素の文脈において、非アルキメデス的線形力学系と実数値線形力学系との間に根本的な構造的相違があるか？
• RQ5 非アルキメデス的体上の $ c_0 $ 上のすべての超循環的（または超循環的）作用素は、対応する基準を満たすのだろうか？

主な発見

• 有限次元の非アルキメデス的ベクトル空間上には、超循環作用素が存在しない。
• 位相線形空間上の線形作用素 $ T $ は、超循環性基準（resp. 超循環性基準）を満たすとき、超循環的（resp. 超循環的）である。
• 空間 $ c_0(\mathbb{N}) $ 上の後退シフト $ B $ に対して、作用素 $ \lambda I + \mu B $ は $ |\lambda| < |\mu| $ のときに限り超循環的であるが、この条件は $ I + \mu B $ に対しては常に満たされないため、$ I + \mu B $ は超循環的でない。
• 非アルキメデス的体上では、作用素 $ I + \mu B $ は、いかなる場合にも超循環的でないが、実数の場合には $ |\mu| > 1 $ のとき超循環的であるため、両者の設定における根本的な相違を示している。
• 作用素 $ \lambda I + \mu B $ は、$ c_0(\mathbb{N}) $ 上で $ |\lambda| < |\mu| $ のときに限り超循環的であり、この条件は超循環性基準を満たすことを保証する。
• 著者らは、非アルキメデス的体上の $ c_0 $ 上のすべての超循環的（resp. 超循環的）作用素は、対応する超循環性（resp. 超循環性）基準を満たすはずだと予想している。