[論文レビュー] Hypercyclic subspaces and weighted shifts

Quentin Menet|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2012

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、連続ノルムを備えたフレシェ空間における作用素列に対する超循環部分空間の基準を一般化し、重み付きシフトにおける超循環部分空間の不在に関する簡単な基準を確立する。また、$\ell^p$、$c_0$、整関数の空間、および特定のコーエ Sequence 空間における重み付きシフトが超循環部分空間を有する条件を特徴づけ、整関数空間上での微分作用素の非定数多項式がすべて超循環部分空間を有することを証明する。

ABSTRACT

We first generalize the results of León and Müller [Studia Math. 175(1) 2006] on hypercyclic subspaces to sequences of operators on Fréchet spaces with a continuous norm. Then we study the particular case of iterates of an operator T and show a simple criterion for having no hypercyclic subspace. Finally we deduce from this criterion a characterization of weighted shifts with hypercyclic subspaces on the spaces lp or c0, on the space of entire functions and on certain Köthe sequence spaces. We also prove that if P is a non-constant polynomial and D is the differentiation operator on the space of entire functions then P(D) possesses a hypercyclic subspace.

研究の動機と目的

• バナッハ空間から連続ノルムを備えたフレシェ空間への超循環部分空間理論の拡張。
• バナッハ空間またはフレシェ空間上での作用素が超循環部分空間を有さない場合の簡単な基準の開発。
• $\ell^p$、$c_0$、整関数空間、および特定のコーエ Sequence 空間における重み付きシフトが超循環部分空間を有する条件の特徴づけ。
• 整関数空間上での微分作用素の非定数多項式がすべて超循環部分空間を有することの証明。

提案手法

• レオンとミュラーの基準（定理 0.3 および 0.4）を、連続ノルムを備えたフレシェ空間へ一般化する。
• 有限余次元部分空間上で作用素ノルムの一様な下界を用いた、超循環部分空間の不在を検出する新しい基準を導入する。
• 重み付きシフトへの適用のために、重みの成長条件と関連する列空間ノルムの分析を通じて、基準を適用する。
• 行列表現と重み列の漸近的比較を用いて、コーエ Sequence 空間における超循環性基準の検証を行う。
• スペクトル論的および関数解析的道具、特に超循環性基準および $H(\mathbb{C})$ 上での微分作用素の性質を活用する。
• 重みおよび列空間係数の上極限と下極限の比較を用いた十分条件を確立し、超循環部分空間の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続ノルムを備えたフレシェ空間上での作用素列が、どのような条件下で超循環部分空間を有するか。
• RQ2 バナッハ空間またはフレシェ空間上での作用素が、どのような条件下で超循環部分空間を有さないか。
• RQ3 $\ell^p$、$c_0$、または整関数空間上での重み付きシフトが、どのような条件下で超循環部分空間を有するか。
• RQ4 整関数空間上での微分作用素の非定数多項式は、すべて超循環部分空間を有するか。
• RQ5 コーエ Sequence 空間上での重み付きシフトが超循環部分空間を有するための必要十分条件は何か。

主な発見

• 定理 0.5 の基準は、有限余次元部分空間上で $\|T^n x\|$ の一様な下界を用いた、超循環部分空間の不在に関する同値条件を提供する。
• $\ell^p$ や $c_0$ 上の重み付きシフトに対して、すべての $n \geq 1$ に対して $\inf_k \prod_{\nu=1}^n |w_{\nu+k}| = 0$ が成り立つならば、$I + B_w$ は超循環部分空間を有する。
• 整関数空間上では、微分作用素 $D$ の非定数多項式 $P(D)$ はすべて超循環部分空間を有する。
• コーエ Sequence 空間 $\lambda^p(A)$ や $c_0(A)$ 上では、重みおよび列空間係数に関する特定の上極限と下極限の条件が満たされれば、重み付きシフト $B_w$ は超循環部分空間を有する。
• $\lim_k \frac{a_{j,k} a_{m,n+k}}{a_{J,k} a_{m_j,n+k}} = 0$ が一様に成り立ち、かつ $\inf_k \frac{\prod_{\nu=1}^n |w_{\nu+k}| a_{J,k}}{a_{m,n+k}} = 0$ が成り立つならば、$P(B_w)$ は超循環部分空間を有する、ただし $P(B_w)$ が超循環性基準を満たすものとする。
• 整関数空間および急速に減少する列の空間は、重み付きシフトにおける超循環部分空間の存在に必要な成長条件を満たす。