[論文レビュー] Hyperelliptic curves and their invariants: geometric, arithmetic and algorithmic aspects

Reynald Lercier, Christophe Ritzenthaler|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 46被引用数 65

ひとこと要約

本稿では、古典的不変量理論とコバリアントを用いて、種数3の超楕円曲線の不変量からその再構成を明示的に与えるアルゴリズムを提示する。幾何学的・算術的・アルゴリズム的側面に注目し、非自明な自己同型群を有する場合を含め、モジュライ体上の超楕円モデルを回復する実用的な手法を提供する。さらに、$p = 11$ から $47$ までのすべての $\bar{\bbF}_p$-同型類を計算し、理論的予測である $p^5$ 本の曲線と一致することを検証した。

ABSTRACT

We apply classical invariant theory of binary forms to explicitly characterize isomorphism classes of hyperelliptic curves of small genus and, conversely, propose algorithms for reconstructing hyperelliptic models from given invariants. We focus on genus 3 hyperelliptic curves. Both geometric and arithmetic aspects are considered.

研究の動機と目的

• 不変量から超楕円曲線を構成的に回復する方法を提供すること、特に非自明な自己同型群が存在する場合に焦点を当てる。
• 算術幾何における降下問題に対処し、モジュライ体上での超楕円モデルの再構成のためのアルゴリズムを開発すること。
• Mestreの手法を拡張し、追加の自己同型を有する場合の種数3超楕円曲線の同型類を、明示的な不変量とコバリアントによって特徴付けること。
• 有限体上でのすべての $\bar{\bbF}_p$-同型類の明示的モデルを計算し、理論的予測の整合性を検証すること。

提案手法

• 二進八次形式（種数3超楕円曲線に付随する形式）の基本不変量とコバリアントを計算するために、Gordanの方法と変換積（transvectants）を用いる。
• Clebschの恒等式を適用し、二進形式とその関連する二次的コバリアントとの関係を確立することで、平面の二次曲線 $\ncal Q$ と四次曲線 $\ncal H$ の構成を可能にする。
• 評価・補間戦略を用いて、$\ncal Q$ および $\ncal H$ の係数の形式的表現を不変量の関数として導出し、直接的な記号計算を回避する。
• 追加の自己同型を有する曲線に対しては、$\ncal Q$ が非特異になるようにコバリアントの選択を修正し、8点で分岐する2次被覆の構成を可能にする。
• 有限体上での降下技術を適用し、同型写像上のガロア作用を計算し、ノルム方程式を解くことで、モジュライ体上へのモデルの降下を実行する。
• 自己同型群が非自明な場合に有理同型を特定するために、Magmaの `IsGL2Equivalent` 関数と $\textrm{PGL}_2$ 内の正規化子計算を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己同型群が非自明な場合、特にMestreの二次曲線が特異化する場合に、不変量からアルゴリズム的に超楕円曲線を再構成することは可能か？
• RQ2 追加の自己同型を有する種数3超楕円曲線のモジュライ体の構造はどのように規定されるか？また、それが定義体でもある条件は何か？
• RQ3 $\bbF_p$ 上での $\bar{\bbF}_p$-同型類の数はいくつであり、それらは明示的にパラメータ化可能か？
• RQ4 重み付き射影空間における不変量の枠組みを用いて、種数3を超える高種数の超楕円曲線に対しても再構成法を一般化可能か？

主な発見

• 著者らは、$p = 11$ から $47$ までのすべての $\bar{\bbF}_p$-同型類について、$\bbF_p$ 上の種数3曲線のモジュライ体上での超楕円曲線の再構成に成功した。
• 次元0のストラトムでは1つのモデルが得られ、次元1では $p-3$ 個、次元2では $p^2 - 2p + 2$ 個、$\ncal D_4$ ストライプでは $p^3 - 2p^2 + 3$ 個、$\ncal C_2$ ストライプでは $p^5 - p^3 + p - 2$ 個のモデルが得られた。
• $\bbF_p$ 上の $\bar{\bbF}_p$-非同型な種数3超楕円曲線の総数は $p^5$ であり、[BG01] での予測と一致した。
• 非自明な自己同型群を有する曲線に対しても、代替コバリアントを用いて非特異な二次曲線 $\ncal Q$ を保証することで、Mestreの元来の手法の失敗を回避し、再構成法が有効に機能した。
• 有限体上での降下アルゴリズムは効果的であった：ノルム方程式を解き、ガロア降下をテストすることで、同型類の有限探索を経て、モジュライ体上へのモデルが構成された。
• 実装により、有限体上のすべての種数3超楕円曲線について、モジュライ体が定義体であることが確認された。これは、追加の自己同型が存在する場合でも成立した。