[論文レビュー] Hyperelliptic Curves with Many Automorphisms

N Müller, Richard Pink|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、多くの自己同型を持つすべての複素ハイパーオービック曲線を分類し、3つの無限族と15個の例外的ケースを特定し、それらのヤコビアンが複素乗法を持つかどうかを正確に特定する。表現論的基準と有限体上での新規なフロベニウス特性多項式基準を用いて、15個の例外的ケースのうち10個のヤコビアンは複素乗法を持たないことが証明され、残りの5個とすべての無限族は複素乗法を持つ。これは、フランス・オールトがモジュライ空間内の特別な点に関して提起した疑問に答えている。

ABSTRACT

We determine all complex hyperelliptic curves with many automorphisms and decide which of their jacobians have complex multiplication.

研究の動機と目的

• 多くの自己同型を持つすべての複素ハイパーオービック曲線、すなわち自己同型群が非自明に変形できない曲線を分類すること。
• これらの曲線のうち、ヤコビアンが複素乗法を持つものかどうかを特定し、モジュライ空間内の特別な点に関してフランス・オールトが提起した疑問に答えること。
• 自己同型類の完全かつ簡潔な分類を提供し、無限族と例外的ケースを区別すること。
• 表現論的手法が失敗する場合に、有限体上のフロベニウス特性多項式に基づく計算的基準を考案・適用し、ヤコビアンに複素乗法がないことを証明すること。

提案手法

• 分類は、PGL₂(ℂ) に含まれる簡約自己同型群 G̅ を分析することで行われ、Wolfartの基準を用いて、現れる可能性のあるすべての有限群 G̅ を同定する。
• 各可能な G̅ に対して、Shaska [19] からの既知の結果と多項式を用いて明示的な方程式を導出し、表1に同型類の完全なリストを得る。
• 3つの無限族に属する曲線については、フェルマー曲線の商としての実現により、ヤコビアンが複素乗法を持つことを示す。
• 5つの例外的曲線については、Streitの表現論的基準を用いて複素乗法が確認され、これは、群作用を伴う極付アーベル多様体の非自明な変形が存在しないことを保証する。
• 残りの10の曲線については、正の小さい genus を持つ商曲線を構成し、有限体上でのフロベニウス特性多項式に基づく新しい基準を用いて、複素乗法の不在を証明する。
• フロベニウス基準は、Tate予想と、非-CM アーベル多様体は、Q 上で次数が増加する分解体を持つフロベニウス多項式を持つという事実に依拠し、Sage と GAP を用いて計算的に検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数体上でのハイパーオービック曲線で、多くの自己同型を持つもの、すなわち自己同型群を保存したまま非自明に変形できないものはどれか？
• RQ2 これらの曲線のうち、ヤコビアンが複素乗法を持つのはどれか。これは、モジュライ空間内の特別な点に関してオールトが予想した内容である。
• RQ3 表現論的手法が失敗する場合に、有限体上でのフロベニウス特性多項式に基づく計算的基準を用いて、ヤコビアンに複素乗法がないことを明確に排除できるか？
• RQ4 自己同型を持つハイパーオービック曲線の同型類の完全なリストは何か。また、それらの自己同型群とヤコビアンは、複素乗法に関してどのように振る舞うか？

主な発見

• 多くの自己同型を持つハイパーオービック曲線は、3つの無限族（巡回群またはディーデル型の簡約自己同型群）と15個の例外的ケース（A₄、S₄、A₅ の簡約群）に分類される。
• 3つの無限族に属するすべての曲線のヤコビアンは複素乗法を持つ。これは、フェルマー曲線の商として実現可能であるためである。
• 15個の例外的曲線のうち5つ（X₄、X₅、X₇、X₉、X₁₄）のヤコビアンは複素乗法を持つ。これは Streit の表現論的基準により確認された。
• 残りの10個の例外的曲線（X₆、X₈、X₁₀、X₁₁、X₁₂、X₁₃、X₁₅、X₁₆、X₁₇、X₁₈）のヤコビアンは複素乗法を持たない。これは、有限体上での新しいフロベニウスに基づく基準を用いて証明された。
• フロベニウス基準は、十分に多くの非常に良い素数において、フロベニウス多項式の分解体の次数の積が 2·g̅ を超えること、ここで g̅ は商曲線の genus である、という条件を満たすことで有効に適用された。
• Sage と GAP を用いた計算的検証により、すべての結果が確認され、具体的な素数（例：X₁₀ に対して 37, 61, 157）を用いて複素乗法の失敗が示された。