[論文レビュー] Hyperexpansive Weighted Translation Semigroups

Geetanjali M. Phatak, V. M. Sholapurkar|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2018

Holomorphic and Operator Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$L^2(\mathbb{R}_+)$ 上の重み付き移動作用素半群の重み関数を用いて、超拡張的（hyperexpansive）な重み付き移動作用素半群を特徴づけ、作用素半群の性質と完全減少関数や完全交項関数といった古典的関数類の間の関係を確立する。完全超拡張的および2-超拡張的半群の完全な特徴づけをその記号を用いて行い、このような半群のカウチ双対を分析する。その結果、完全超拡張的半群のカウチ双対は子正規的であるが、2-超拡張的半群のカウチ双対は子正規的であるとは限らないことが示された。

ABSTRACT

The weighted shift operators turn out to be extremely useful in supplying interesting examples of operators on Hilbert spaces. With a view to study a continuous analogue of weighted shifts, M. Embry and A. Lambert initiated the study of a semigroup of operators $\{S_t\}$ indexed by a non-negative real number $t$ and termed it as weighted translation semigroup. The operators $S_t$ are defined on $L^2(\mathbb R_+)$ by using a weight function. In this paper, we continue the work carried out there and obtain characterizations of hyperexpansive weighted translation semigroups in terms of their symbols. We also discuss Cauchy dual of a hyperexpansive weighted translation semigroup. As an application of the techniques developed, we present new proofs of a couple of known results.

研究の動機と目的

• 重み付きシフト作用素の理論を、$L^2(\mathbb{R}_+)$ 上の重み付き移動作用素半群を用いて連続的設定に拡張すること。
• このような半群の超拡張的クラス（完全超拡張的、2-超拡張的、2等長的、および交項的に超拡張的）を、その重み関数の観点から特徴づけること。
• 超拡張的重み付き移動作用素半群のカウチ双対を調査し、重み付きシフト作用素とその性質を比較すること。
• 記号に基づく作用素構成の関数解析的枠組みを用いて、既知の結果の新たな証明を提供すること。

提案手法

• 正で連続な重み関数 $\varphi$ を用いて、$L^2(\mathbb{R}_+)$ 上の重み付き移動作用素半群 $\{S_t\}$ を定義する。ここで $S_t f(x) = \sqrt{\frac{\varphi(x)}{\varphi(x-t)}} f(x-t)$（$x \geq t$ のとき）およびそれ以外の場合は 0 とする。
• $\{S_t\}$ が $S_0 = I$ および $S_t \circ S_s = S_{t+s}$ を満たす半群をなすことを示し、$\|S_t\| = \|\varphi_t\|_\infty$ が成り立つことを確立する。
• 完全減少関数、完全交項関数、絶対減少関数といった関数類と作用素半群クラスとの関連を用いて、超拡張的半群を特徴づける。
• カウチ双対の理論を適用し、$S_t' = (S_t^*)^{-1}$ で定義される双対半群 $\{S_t'\}$ を分析し、その性質を記号 $\varphi$ と関連付ける。
• $\varphi$ 及びその導関数における微分不等式を用いて、$\{S_t\}$ が完全超拡張的または2-超拡張的であるかどうかを特定する。
• $\varphi(x) = 2x - \log(\cosh(x-10)) + 100$ を用いた明示的例を構成し、2-超拡張的半群のカウチ双対が子正規的でないことがあることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み関数 $\varphi$ にどのような条件を課すと、重み付き移動作用素半群 $\{S_t\}$ が完全超拡張的になるか？
• RQ2 $\{S_t\}$ の2-超拡張的性質は、$\varphi$ の導関数を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ3 超拡張的重み付き移動作用素半群のカウチ双対が子正規的または弱子正規的であるための条件は何か？
• RQ4 2-超拡張的半群のカウチ双対が子正規的でないことがあるか。そのような場合、どのようにしてその例を構成できるか？
• RQ5 $\varphi$ の解析的性質（例：完全減少性）と $\{S_t\}$ の作用素論的性質との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 重み付き移動作用素半群 $\{S_t\}$ が完全超拡張的であるための必要十分条件は、その重み関数 $\varphi$ が完全交項的であることである。
• $\{S_t\}$ が2-超拡張的であるための必要十分条件は、$\varphi$ が下に凸であること、すなわちすべての $x \in \mathbb{R}_+$ に対して $\varphi''(x) \leq 0$ が成り立つことである。
• 完全超拡張的重み付き移動作用素半群のカウチ双対は、子正規的収縮である。これは命題 4.3 で示された。
• 2-超拡張的重み付き移動作用素半群のカウチ双対は、弱子正規的収縮である。これは命題 4.6 で確立された。
• $\varphi(x) = 2x - \log(\cosh(x-10)) + 100$ を用いた明示的例を構成し、2-超拡張的半群のカウチ双対が子正規的でないことが示された。これは $\psi = 1/\varphi$ が完全減少的でないためである。
• 絶対減少関数の逆数は、一般に完全減少的ではない。これは $\varphi(x) = x^2 + px + q$（複素数解をもつ）の二次関数の例によって示された。