[論文レビュー] Hyperfields for Tropical Geometry I. Hyperfields and dequantization

Oleg Viro|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2010

Polynomial and algebraic computation参考文献 10被引用数 55

ひとこと要約

本稿では、ℝ、ℂ、ℝ₊ といった古典的数集合に基づき、量子化の逆操作（dequantization）を用いて、多値加法を持つ代数的構造（ハイパーフィールド）を新たに導入する。主な貢献は、複素数のトロピカルハイパーフィールド ℒℂ と実数のトロピカルハイパーフィールド ℒℝ の構成であり、これらはトロピカル多様体を方程式によって定義する自然な代数的基盤を提供し、より構造の薄いトロピカル半体よりも優れている。

ABSTRACT

New hyperfields, that is fields in which addition is multivalued, are introduced and studied. In a separate paper these hyperfields are shown to provide a base for the tropical geometry. The main hyperfields considered here are classical number sets, such as the set of complex numbers, the set of real numbers, and the set of real non-negative numbers, with the usual multiplications, but new, multivalued additions. The new hyperfields are related with the classical fields and each other by dequantisations. For example, the new complex tropical field is a dequantization of the field of complex numbers.

研究の動機と目的

• 既存のトロピカル半体よりも自然な代数的基盤を提供するハイパーフィールド枠組みを構築すること。
• ℂ や ℝ といった古典的体を dequantization することにより、新たなハイパーフィールド（例：ℒℂ と ℒℝ）を導入すること。
• 三角不等式に基づく三角ハイパーフィールド Δ を非 dequantization 的なハイパーフィールドの例として構成すること。
• ハイパーフィールドがトロピカル幾何学における方程式の定式化を可能にし、古典的代数幾何学と整合することを示すこと。
• 多値加法的代数的構造（多値環や多値体）をハイパーフィールドの枠組みで統一的かつ一般化すること。

提案手法

• リトヴィノフ＝マスロフの dequantization を模倣したプロセスを用いて、ℝ、ℂ、ℝ₊ といった古典的数集合上に多値加法を定義する。
• ℂ と ℝ それぞれの dequantization として、複素数のトロピカルハイパーフィールド ℒℂ と実数のトロピカルハイパーフィールド ℒℝ を構成し、標準的な乗法を保存する。
• 辺の長さが a, b, c であるユークリッド幾何学における三角形が存在するようなすべての c からなる集合として、底面が ℝ₊ である三角ハイパーフィールド Δ を導入する。
• p進数に対して、p進付値に基づく多値加法を定義し、係数の和が p に等しい場合に多値の結果が得られるようにする。
• 多値演算の結合的および乗法との整合性を証明し、ハイパーフィールド公理を満たすことを確立する。
• ハイパーフィールド準同型を用いて、新規に導入されたハイパーフィールドと古典的体、およびそれらの間の関係を定式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的数集合上に一貫した多値加法を定義することでハイパーフィールドを構成するには、どのようにすればよいか？
• RQ2 古典的体からの dequantization プロセスは、トロピカル幾何学に適したハイパーフィールドを生成できるか？
• RQ3 三角ハイパーフィールド Δ はハイパーフィールドおよびトロピカル幾何学の文脈において果たす役割は何か？
• RQ4 ハイパーフィールドは、古典的代数幾何学と同様に、方程式によるトロピカル多様体の定式化をどのように可能にするか？
• RQ5 ハイパーフィールドと多値環や多値体といった既存の代数的構造との関係は何か？

主な発見

• 複素数のトロピカルハイパーフィールド ℒℂ と実数のトロピカルハイパーフィールド ℒℝ は、それぞれ ℂ と ℝ の dequantization として構成され、多値加法と標準的乗法を備えている。
• 三角ハイパーフィールド Δ は ℝ₊ 上に定義され、a ⊕ b は、辺の長さが a, b, c である三角形がユークリッド幾何学で存在するようなすべての c からなる集合である。
• p進数に対して、付値と係数の和に基づく多値加法が定義され、係数の和が p に等しい場合に多値の結果が得られる。
• 構成されたすべてのハイパーフィールドにおける多値加法は結合的であり、乗法とも整合的であり、ハイパーフィールド公理を満たしている。
• ハイパーフィールドは、トロピカル多様体が方程式によって定義される枠組みを提供し、トロピカル幾何学を古典的代数幾何学と整合させる。
• 本稿は、特に dequantization を通じて得られるハイパーフィールドが、半体よりもトロピカル幾何学に適していることを確立している。