[論文レビュー] Hypergeometric Functions II (q-analogues)

I. G. Macdonald|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2013

Mathematical functions and polynomials被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、対称関数とマクドナルド多項式を用いて、多変数超幾何関数のqアナローグを導入し、複数変数におけるq超幾何級数の枠組みを確立する。主な恒等式としてラプラス変換やセルバーグ型積分を導出し、$_2\Phi_1$関数のqアナローグのガウス和公式を証明することで、代数的組合せ論および表現論におけるq特殊関数の基盤を提供する。

ABSTRACT

This is the typewritten version of a handwritten manuscript which was completed by Ian G. Macdonald in 1987 or 1988. It is the sequel to the manuscript "Hypergeometric functions I." The two manuscripts are very informal working papers, never intended for formal publication. Nevertheless, copies of the manuscripts have circulated widely, giving rise to quite a few citations in the subsequent 25 years. Therefore it seems justified to make the manuscripts available for the whole mathematical community. The author kindly gave his permission that typewritten versions be posted on arXiv.

研究の動機と目的

• 対称関数論を用いて、1変数および複数変数における超幾何関数のqアナローグの包括的理論を構築すること。
• マクドナルド多項式およびその双対基底を用いて、多変数超幾何級数 $_r\Phi_s$ を定義すること。
• q設定における基本的恒等式、たとえばqガウス和、ラプラス変換、セルバーグ積分を確立すること。
• 評価ホモオモルフィズム $\varepsilon_{u,t}$ と $q$-ポッヒャーマー記号を用いて、古典的超幾何恒等式をqの場合に一般化すること。
• 将来の特殊関数および直交多項式に関する研究を支援する、q超幾何関数の形式的枠組みを提供すること。

提案手法

• $q,t$-ポッヒャーマー記号と双対マクドナルド多項式 $J_\lambda^*$ を用いて、分割の上での和として $q$-超幾何級数 $_r\Phi_s(\underline{a};\underline{b};x;q,t)$ を定義する。
• 評価ホモオモルフィズム $\varepsilon_{u,t}(J_\lambda) = t^{n(\lambda)}(u;q,t)_\lambda$ を用いて、超幾何関数を生成関数に関連付ける。
• テンソル積と正規化を用いて、2組の変数における多変数 $q$-超幾何級数を定義する超幾何カーネル $J_\lambda^*(x,y;q,t)$ を導入する。
• ラプラス変換の恒等式 $\varepsilon^{(y)}_{t^n,t}(_r\Phi_s(x,y)) = _r\Phi_s(x)$ を導出し、1変数と多変数のケースを結びつける。
• 超幾何カーネルを $y_i = t^{i-1}$ で評価することにより、$_2\Phi_1$ に対するガウスの和公式のqアナローグを確立する。
• $q$-積分および $q$-差分計算を用いて、セルバーグ型積分および $_r\Phi_s$ の変換恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的超幾何関数は、対称関数を用いて、どのようにqの場合の複数変数に一般化できるか？
• RQ2 多変数設定における $_2\Phi_1$ のqアナローグのガウス和公式は何か？
• RQ3 ラプラス変換と評価ホモオモルフィズムは、1変数と多変数のq超幾何級数をどのように結びつけるか？
• RQ4 q超幾何関数が満たす構造的恒等式や積分表現（例：セルバーグ積分）は何か？
• RQ5 $q,t$-ポッヒャーマー記号とマクドナルド多項式の基底は、どのようにしてq超幾何級数を定義するか？

主な発見

• $_0\Phi_0(x;q,t)$ は $\prod_{i}(x_i;q)_\infty^{-1}$ として与えられ、古典的q積分恒等式を一般化する。
• $_1\Phi_0(a;x;q,t)$ は $\prod_{i}(ax_i;q)_\infty / (x_i;q)_\infty$ に等しく、q二項定理を拡張する。
• 多変数超幾何カーネルは $J_\lambda^*(x,y;q,t) = J_\lambda^*(x;q,t)J_\lambda^*(y;q,t)/\varepsilon_{t^n,t}(J_\lambda^*)$ を満たし、$_r\Phi_s(x,y)$ の定義を可能にする。
• ラプラス変換の恒等式 $\varepsilon^{(y)}_{t^n,t}(_r\Phi_s(x,y)) = _r\Phi_s(x)$ が成り立ち、1変数と多変数のケースの整合性を示す。
• ガウスの和公式のqアナローグが確立され、$_{2}\Phi_{1}(a,b;c;x;q,t)$ は古典的ケースに類似した変換を満たす。
• q-積分を用いてセルバーグ型積分が導出され、qラプラス変換は $_r\Phi_s(x,y)$ をパラメータがシフトされた $_{r+1}\Phi_s$ に写像する。