[論文レビュー] Hypergeometric functions related to Schur Q-polynomials and BKP equation

A. Yu. Orlov|ArXiv.org|Feb 5, 2003

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 4被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、射影的シュールQ多項式に関連する超幾何関数を導入し、それらが可積分系のBKP階層におけるタウ関数として果たす役割を確立する。自由フェルミオンのフォック空間形式とボソン化技術を用いて、積分的およびパフリアン表現を導出し、これらの関数が線形方程式を満たし、フェルミオン場の真空期待値として表されることを示す。これにより、頂点演算子作用および対称性生成子を通じてBKP方程式の解と結びつくことが明らかになる。

ABSTRACT

We introduce hypergeometric functions related to projective Schur functions $Q_λ$ and describe their properties. Linear equations, integral representations and Pfaffian representations are obtained. These hypergeometric functions are vacuum expectations of free fermion fields, and thus these functions are tau functions of the so-called BKP hierarchy of integrable equations.

研究の動機と目的

• 射影的シュール関数 $ Q_{\nu} $ に関連する超幾何関数を構成し、それらがBKP階層の有理的解として果たす役割を明らかにすること。
• これらの関数が自由フェルミオン場の真空期待値として現れることを確立し、1成分BKP階層のタウ関数として同定すること。
• フェルミオン場演算子およびウィックの定理を用いて、これらの超幾何関数の積分的およびパフリアン表現を導出すること。
• 頂点演算子および追加の対称性がタウ関数に及ぼす作用を調べ、シフト公式および線形方程式を導出すること。
• 変数集合 $ {\bf x}^N $ および $ {\bf y}^N $ を含む行列式およびパフリアンを用いた $ \tau_r({\bf t}, {f t}^*) $ の明示的公式を提示すること。

提案手法

• 正準反交換関係 $ [\phi_m, \phi_n]_+ = (-1)^m \delta_{m,-n} $ を満たす中性フェルミオン $ \{\phi_n\} $ を用い、右および左の真空 $ |0\rangle $ および $ \langle 0| $ を定義するフォック空間を構成する。
• 奇数の $ n $ に対して、BKP階層を生成するハミルトニアン $ H_n = \frac{1}{2} \sum_k (-1)^{k+1} \phi_k \phi_{-k-n} $ を導入し、それらがヘイゼンベルク代数関係 $ [H_n, H_m] = \frac{n}{2} \delta_{n+m,0} $ を満たすことを示す。
• 真空期待値を指数型生成関数 $ \xi({\bf t}, z) = \sum_{n \text{ odd}} z^n t_n $ を含む形に、ボソン化公式を用いて表現する。
• 頂点演算子 $ Z(z) = e^{\xi({\bf t}, z)} e^{-2\xi(\tilde{\partial}, z^{-1})} $ を用いて積分表現を導出し、これは $ \{t_n\} $ の多項式環に作用する。
• ウィックの定理を用いて、$ 2N $ 個のフェルミオン場の積のパフリアン表現を構築し、相関行列 $ S_{km} = \langle 0| \Phi_k \Phi_m |0\rangle $ を用いる。この行列は $ x_i $、$ y_j $、および混合項を含むブロックに分割される。
• 対称性生成子 $ \Omega_r({\bf t}^*) $ を用いてシフト公式を導出し、$ e^{\Omega_r(\gamma)} \cdot \tau_r({\bf t}, {\bf t}^*) = \tau_r({\bf t}, {\bf t}^* + \gamma) $ を示す。また、$ \sum T_n Z_{nn} $ を用いて $ \tau $ を $ \exp(2\sum n t_n t_n^*) $ と関連づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的シュール関数 $ Q_{\lambda} $ から、どのようにして超幾何関数を体系的に構成でき、BKP階層と関連づけることができるか？
• RQ2 自由フェルミオン場およびその真空期待値は、BKP方程式の解を生成する際に果たす役割は何か？
• RQ3 フェルミオン相関関数の文脈において、積分的およびパフリアン表現はどのようにしてBKPの文脈で生じるか？
• RQ4 変数集合 $ {\bf x}^N $ および $ {\bf y}^N $ を用いて表したとき、タウ関数 $ \tau_r({\bf t}, {\bf t}^*) $ の構造はどのようなものか。また、シュールQ関数とはどのように関係するか？
• RQ5 頂点演算子および追加の対称性はタウ関数にどのように作用し、どのようなシフト恒等式を生じるか？

主な発見

• 本稿で定義された超幾何関数は、自由フェルミオン場の真空期待値として表され、したがって1成分BKP階層のタウ関数である。
• $ r \neq 0 $ の場合、タウ関数 $ \tau_r({\bf t}({\bf x}^N), {\bf t}^*({\bf y}^N)) $ は、$ 2N \times 2N $ 行列 $ S $ のパフリアンとして与えられ、$ \Delta({\bf x}^N) \Delta({\bf y}^N) $ で正規化される。これは命題6で述べられている。
• N が偶数の場合、$ \tau_r({\bf t}({\bf x}^N), {\bf t}^*) $ は $ N \times N $ 行列 $ R $ のパフリアンとして表され、$ R_{ik} = \frac{1}{2} \frac{x_i - x_k}{x_i + x_k} \tau_r({\bf t}(x_i, x_k), {\bf t}^*) $ である。これは命題7で示されている。
• N が奇数の場合、パフリアン公式は $ (N+1) \times (N+1) $ 行列 $ R $ に拡張され、$ \tau_r({\bf t}(x_i), {\bf t}^*) $ に対応する追加の行および列が加わる。これは (1.8.9) で示されている。
• 頂点演算子 $ Z(z) $ および対称性生成子 $ \Omega_r({\bf t}^*) $ は、シフト恒等式 $ e^{\Omega_r(\gamma)} \cdot \tau_r({\bf t}, {\bf t}^*) = \tau_r({\bf t}, {\bf t}^* + \gamma) $ を満たし、また $ e^{\sum T_n Z_{nn}} \exp(2\sum n t_n t_n^*) = \tau({\bf t}, T, {\bf t}^*) $ も成り立つ。これは (1.9.5) および (1.9.8) で示されている。
• 真空期待値 $ \langle 0| \phi(1/x_i) \phi(1/x_k) e^{-B({\bf t}^*)} |0\rangle $ は、$ r_{(n_k,n_i)} Q_{(n_k,n_i)}({\bf t}^*/2) $ を含む分割の和として明示的に表現され、シュールQ多項式との関係を確認する。