[論文レビュー] Hypergeometric Structures in Feynman Integrals

J. Blümlein, M. Saragnese+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 20被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、超幾何構造を用いてスカラーおよびマスターフeynman積分に現れる偏微分方程式（PDE）を自動的に同定・解明する手法を提示する。解を形式的テイラー級数に展開し、展開係数に対する線形差分方程式に還元することで、著者らはSigmaパッケージとヒューリスティック手法を用いて有理関数およびPochhammer記号に基づく解を計算し、Hurwitz調和和を導入し、量子場理論における有効な解析的計算のための既知の超幾何関数を一般化する。

ABSTRACT

Hypergeometric structures in single and multiscale Feynman integrals emerge in a wide class of topologies. Using integration-by-parts relations, associated master or scalar integrals have to be calculated. For this purpose it appears useful to devise an automated method which recognizes the respective (partial) differential equations related to the corresponding higher transcendental functions. We solve these equations through associated recursions of the expansion coefficient of the multivalued formal Taylor series. The expansion coefficients can be determined using either the package { t Sigma} in the case of linear difference equations or by applying heuristic methods in the case of partial linear difference equations. In the present context a new type of sums occurs, the Hurwitz harmonic sums, and generalized versions of them. The code { t HypSeries} transforming classes of differential equations into analytic series expansions is described. Also partial difference equations having rational solutions and rational function solutions of Pochhammer symbols are considered, for which the code { t solvePartialLDE} is designed. Generalized hypergeometric functions, Appell-,~Kampé de Fériet-, Horn-, Lauricella-Saran-, Srivasta-, and Exton--type functions are considered. We illustrate the algorithms by examples.

研究の動機と目的

• 多スケールFeynman図におけるスカラーおよびマスターフェルミオン積分の偏微分方程式を体系的に分類すること。
• 既知の超幾何関数クラスを用いて、これらのPDEを認識・解明する自動化手法を開発すること。
• 線形差分方程式を介して、多値テイラー級数の展開係数を計算すること。
• Hurwitz調和和や一般化されたPochhammer積といった新しい和の型を導入し、取り扱うこと。
• HypSeriesおよびsolvePartialLDEソフトウェアパッケージを用いた記号的評価のための計算フレームワークを提供すること。

提案手法

• Feynman積分をマスターフェルミオンに還元するために部分積分（IBP）関係を用いる。
• マスターフェルミオンをパラメータx₁, ..., xₙの原点{0, ..., 0}まわりの形式的多変数テイラー級数として表現する。
• 元のPDEから展開係数に対する線形差分方程式を導出する。
• 有理関数およびPochhammer記号に基づく解を得るために、Sigmaパッケージを用いて差分方程式を解く。
• PDEを解析的級数展開に変換するためにHypSeriesパッケージを適用する。
• 有理関数およびPochhammer関数に基づく解を備えた部分線形差分方程式を処理するために、solvePartialLDEパッケージを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多スケールFeynman積分における偏微分方程式は、既知の超幾何関数クラスを用いてどのように体系的に分類可能か？
• RQ2 Appell、Horn、Lauricellaなどの一般化された超幾何関数は、標準的な2F1関数を超えてマスターフェルミオンを表現する上で果たす役割は何か？
• RQ3 記号的総和ツールを用いて、多値テイラー級数の展開係数をどのように効率的に計算できるか？
• RQ4 これらの積分の級数展開において、Hurwitz調和和のような新しい特殊関数のクラスはどのように生じるか？
• RQ5 SigmaやHypSeriesのような自動記号計算ツールは、量子場理論における高次のPDEを効果的に解くために応用可能か？

主な発見

• 本稿では、一般化された超幾何関数を用いて、Feynman積分における高次の偏微分方程式を解くための記号的総和の適用範囲を明確に拡張した。
• HypSeriesパッケージにより、PDEを解析的級数展開に変換可能であり、複雑な例ではExHypSeries.nbが1.32日間の計算を要する。
• 展開係数を表現するために不可欠な新しい和の型—Hurwitz調和和および一般化されたPochhammer積—が同定された。
• 例の評価における定数CはC ≈ 2.759413418790153909406713643175として計算され、ψ(1/2 + i√3/2)およびe^(π√3/2)を含む非自明な解析接続が関与する。
• solvePartialLDEパッケージは、有理関数およびPochhammer関数に基づく解を備えた部分線形差分方程式を解くことを可能とし、次数の上限や初期条件のオプションを備える。