[論文レビュー] Hypergraph Partitioning through Vertex Separators on Graphs

Enver Kayaaslan, Ali Pınar+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2011

VLSI and FPGA Design Techniques参考文献 55被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ハイパーグラフのネットインターセクショングラフ（NIG）上で頂点分離子検出問題として問題を定式化することにより、新しいハイパーグラフ分割手法を提案する。GPVS（頂点分離子によるグラフ分割）技術を活用し、頂点重み付けおよび頂点分割戦略を導入することで、PaToHと比較して最大4.17倍の高速化を達成したが、カットサイズの品質は同等であり、負荷バランスについても許容可能な水準を維持した。特に、分割数が大きい場合に顕著であった。

ABSTRACT

The modeling flexibility provided by hypergraphs has drawn a lot of interest from the combinatorial scientific community, leading to novel models and algorithms, their applications, and development of associated tools. Hypergraphs are now a standard tool in combinatorial scientific computing. The modeling flexibility of hypergraphs however, comes at a cost: algorithms on hypergraphs are inherently more complicated than those on graphs, which sometimes translate to nontrivial increases in processing times. Neither the modeling flexibility of hypergraphs, nor the runtime efficiency of graph algorithms can be overlooked. Therefore, the new research thrust should be how to cleverly trade-off between the two. This work addresses one method for this trade-off by solving the hypergraph partitioning problem by finding vertex separators on graphs. Specifically, we investigate how to solve the hypergraph partitioning problem by seeking a vertex separator on its net intersection graph (NIG), where each net of the hypergraph is represented by a vertex, and two vertices share an edge if their nets have a common vertex. We propose a vertex-weighting scheme to attain good node-balanced hypergraphs, since NIG model cannot preserve node balancing information. Vertex-removal and vertex-splitting techniques are described to optimize cutnet and connectivity metrics, respectively, under the recursive bipartitioning paradigm. We also developed an implementation for our GPVS-based HP formulations by adopting and modifying a state-of-the-art GPVS tool onmetis. Experiments conducted on a large collection of sparse matrices confirmed the validity of our proposed techniques.

研究の動機と目的

• ハイパーグラフモデリングの柔軟性とグラフアルゴリズムの実行効率のトレードオフを解消すること。
• 既存のグラフ分割ツールを活用して効率的なハイパーグラフ分割を可能にする手法の開発。
• 最先端のハイパーグラフ分割ツールと比較して、分割時間の著しい短縮を実現しながらカットサイズの品質を維持すること。
• 計算上の負荷バランスが厳密に定義されていない、または事前処理のオーバーヘッドが重要なアプリケーションに対する実用的ソリューションの提供。

提案手法

• ハイパーグラフがそのネットインターセクショングラフ（NIG）に変換され、各ネットが頂点として表現され、ネット間の共有頂点がエッジで表される。
• NIGは本質的に頂点重み情報を失うため、ノードのバランスを近似するための頂点重み付け方式が導入された。
• 再帰的2分割の過程で頂点削除および頂点分割技術が適用され、カットネットおよび接続性の指標が最適化された。
• 最先端のGPVSツール「metis」を改変し、「onmetisHP」としてハイパーグラフ分割をNIGベースの頂点分離子を用いてサポートするようにしたものに統合された。
• 再帰的2分割のパラダイムを用いてK分割を構築し、各2分割のGPVSステップ後にフリーのノードを各パートに割り当てることで、正確な分割が保証された。
• NIG構築のオーバーヘッドが amortized され、K値が大きくなるほど速度向上が顕著になった。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパーグラフ分割は、ネットインターセクショングラフ（NIG）上での頂点分離子問題に還元することで、効果的に解けるか？
• RQ2 NIGモデルは本質的に頂点重み情報を失うため、ノードのバランスをどのように近似できるか？
• RQ3 GPVSベースの手法は、PaToHのような最先端のハイパーグラフ分割ツールと比較して、カットサイズの品質を同等以上に達成できるか？
• RQ4 分割数Kが増加するに従って、本手法の性能（特にスループットと負荷不均衡）はどのように変化するか？

主な発見

• PD行列コレクションにおいて、本手法はPaToHに対して最大4.17倍の高速化を達成した。特にK=128で最大の高速化が観察された。
• カットサイズの品質は平均的に維持され、多くのケースでPaToHを上回った。K値ごとに平均カットサイズ比は1.03から1.63の範囲で変動した。
• K値が大きい場合、負荷不均衡（LI）はPaToHより悪化したが、依然として許容範囲内であり、K値や指標に応じて0.1%〜16.5%の%LI値を示した。
• NIG構築のオーバーヘッドの amortization により、K値が大きくなるほど速度向上が顕著になった。これは、大規模な分割において優れたスケーラビリティを示している。
• 本手法は、カットサイズと実行時間のトレードオフをバランスに応じて制御できることを示した。これにより、K値が大きくても許容可能なバランスで効果的な分割が可能になった。
• 実験的結果から、GPVSベースのハイパーグラフ分割定式化は競争力があり、特に正確な負荷バランスが必須でない状況において非常に効率的であることが確認された。